等差数列的前n项和课件(等差数列的前n项和课件ppt)
等差数列an的前n项和?
一、 等差数列
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。
等差数列的通项公式为:
an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式为:
Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)
以上n均属于正整数
从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。
在等差数列中,等差中项:一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项。
且任意两项am,an的关系为:
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等。
和=(首项+末项)×项数÷2
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
末项=首项+(项数-1)×公差
等差数列的应用:
日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别
时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级。
若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。
等差数列的前n项和定义?
Sn=n*a1+n(n-1)d/2
等差数列{an}的通项公式
an=a1+(n-1)d
前n项和公式
Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2
等差数列怎么求和
教你一个简单易懂的方法,不用分奇偶考虑
比如说等差数列是1,2,3,4,5,6,7
我们给它写两遍,分成两行写,第二遍写的时候倒过来
1,2,3,4,5,6,7
7,6,5,4,3,2,1
这样每一个上面的加下面的是不是就是a1+an
那么2倍的前n项和不就是(a1+an)*n了么
所以s=(a1+an)n/2
扩展
等比数列公式前n项公式是Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
等比数列前n项和公式及推导过程
等比数列前n项和公式:Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。
推导如下
因为an = a1q^(n-1)
所以Sn = a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1) (1)
qSn =a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n (2)
(zhi1)-(2)注意(1)式的第一项不变。
把(dao1)式的第二项减去(2)式的第一项。
把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。
以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。
(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。
于是得到
(1-q)Sn = a1(1-q^n)
即Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。
等比数列的性质
①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;
②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.
③若(an)是等比数列,公比为q1,(bn)也是等比数列,公比是q2,则
(a2n),(a3n)…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…
(can),c是常数,(an*bn),(an/bn)是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2。
(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.
注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
(6)由于首项为a1,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
等比等差数列前n项和公式?
1.等差数列前n项和公式(1) Sn=n(a1+an)/2(2) Sn=na1+n(n-1)d/22. 等比数列前n项和公式(1)当公比q=1时,Sn=na1(2)当q不等于1时,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或 Sn=(a1-an*q)/(1-q)
等差数列前n项和为sn?
等差数列前N项和公式S=(A1+An)N/2 ,等差数列是常见数列的一种,可以用AP表示,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。
例如:1,3,5,7,9……(2n-1)。等差数列{an}的通项公式为:an=a1+(n-1)d。前n项和公式为:Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 。
等差数列前n项和为222?
回答问题:等差数列前n项和为222,根据等差数列求前n项和公式可知,(a1十an)n÷2=222,(a1十an)n=444=4x111=4X3x37=12X37,令n=12,令a1=1,则a12=36,a12=a1十(12-1)d=36,11d=35,d=35/11,所以首项a1=1,公差d=35/11,前12项之和等于222。
等差数列前N项和求和公式?
设,a为首项,公差为d,前n项和为Sn
则
Sn=a+(a+d)+(a+2d)+……+{(n-1)d+a}={(n-1)d+a}+……+(a+2d)+(a+d)+a
所以
2Sn=【a+{(n-1)d+a}】✘n
={(2a+(n-1)d}✘n
所以
等差数列前n项和公式为
Sn={(2a+(n-1)d}✘n/2
=na+n(n-1)d/2
不等差数列前n项和公式?
通项公式
等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式
前n项和公式为:Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)
以上n均属于正整数.
推论
1.从(1)式可以看出,an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.
2.从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
3.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.
若m+n=2p,则am+an=2ap
4.其他推论
和=(首项+末项)×项数÷2
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
末项=首项+(项数-1)×公差
推论3证明
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq
如am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d
=2a1+(m+n-2)d
同理得,
ap+aq=2a1+(p+q-2)d
又因为
m+n=p+q ;
a1,d均为常数
所以
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq
注:1.常数列不一定成立
2.m,p,q,n大于等于自然数
等差中项
在等差数列中,等差中项:一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项,且为数列的平均数.
且任意两项am,an的关系为:an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式.
等差数列前n项和的证明方法?
教你一个简单易懂的方法,不用分奇偶考虑
比如说等差数列是1,2,3,4,5,6,7
我们给它写两遍,分成两行写,第二遍写的时候倒过来
1,2,3,4,5,6,7
7,6,5,4,3,2,1
呵呵这样每一个上面的加下面的是不是就是a1+an
那么2倍的前n项和不就是(a1+an)*n了么
所以s=(a1+an)n/2
等差数列an的前n项和为sn?
等差数列的特点是后一项比前一项大一个常数,假如等差数列an的首项数值为a,公差为d,那么它的第n项为a+(n-1)*d,根据等差数列的求和公式,它的前n项和为首项加尾项,然后乘以项数,再除以2。代入数据得(a+a+(n-1)*d)*n/2。经过计算化简可以得出结果为a*n+n*n/2-n*d/2
等差数列前n项和性质及证明?
sn,s2n-sn,s3n-s2n..........成等差数列,公差为n^2*d
证明如下:
sk=ka1+k(k-1)d/2
s2k=2ka1+2k(2k-1)d/2
s3k=3ka1+3k(3k-1)d/2
s2k-sk=ka1+k(3k-1)d/2
s3k-s2k=ka1+k(5k-1)d/2
(s2k-sk)-sk=k^2*d
(s3k-s2k)-(s2k-sk)=k^2*d
所以
等差数列依次每项k之和仍为等差数列,其公差为原公差的k^2倍,即数列sk,s2k-sk,s3k-s2k也为等差数列
例子如下:
设等差数列an的前n项和为sn,若s3=9,s6=36,则a7+a8+a9=?
运用以上的性质,可得:s3,s6-s3,s9-s6
成等差数列
则2(s6-s3)=s3+(s9-s6)
得到s9-s6=2s6-3s3=45
故a7+a8+a9=45
第二个例子
设等差数列前6项为2,4,6,8,10,12
则
s2,
s4-s2,
s6-s4
成等差数列,
s2=6,s4-s2=14,s6-s4=22,它们的公差是8,是2^2
*2,
所以
sn,s2n-sn,s3n-s2n..........成等差数列,公差是n^2*d,而不是n*d。
继续上面这个题,求s20-s18的值
因为s2,
s4-s2,
s6-s4,........是首项为s2,公差为8的等差数列
所以s20-s18=s2+8*9=6+72=78
答毕