特征值与特征向量课件(特征值和特征向量课件)
特征值与特征向量的求法？
令|A-λE|=0，求出λ值。A是n阶矩阵，Ax=λx，则x为特征向量，λ为特征值。
设矩阵为A，特征向量是t，特征值是x，At=x*t，移项得（A-x*I）t=0，
∵t不是零向量
∴A-x*I=0，（2-x）（1-x）（-x）-4（2-x）=0，化简得（x-2）（x^2-x-4）=0，
∴矩阵有三个特征值：2，（1±根号17）/2。把特征值分别代入方程，设x=（a，b，c），可得到对于x=2，b=0，a+c=0，对应x=2的特征向量为（-1，0，1）（未归一化），其它x的一样做。
求矩阵的全部特征值和特征向量：
1、计算的特征多项式；
2、求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
3、对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）
[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。
伴随矩阵特征值与原矩阵的特征值特征向量？
当A可逆时， 若 λ是A的特征值， α 是A的属于特征值λ的特征向量；则 |A| / λ 是 A*的特征值， α 仍是A*的属于特征值 |A| / λ 的特征向量。
设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。
设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，
称为A的特征多项式，记¦(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。
¦(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。
以A的特征值λ0代入(λE-A)X=θ，得方程组(λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为|λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解
，
称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。
伴随矩阵的特征值
性质1：n阶方阵A=(aij)的所有特征根为λ1，λ2，…,λn(包括重根)，则：
性质2：若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
性质3：若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
性质4：设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。
如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν
其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。
若B可逆，则原关系式可以写作
，也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。
如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为
A矩阵未必是对称的
反对称矩阵的特征值与特征向量？
反称矩阵
设A为n维方阵，若有A'=-A，则称矩阵A为反对称矩阵。对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。反对称矩阵具有很多良好的性质，如若A为反对称矩阵，则A'，λA均为反对称矩阵；若A,B均为反对称矩阵，则A±B也为反对称矩阵；设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵；奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。
特征值与特征向量是矩阵的性质？
（1）如果都是特征值对应的特征向量，则的线性组合（非0时）仍是属于的特征向量。 （2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当是矩阵A的k重特征值时，矩阵A属于的线性无关的特征向量的个数不超过k个。即：设是A的特征值，则它的重数。 （3）设n阶矩阵的特征值为，则有： (i)； 即 （ii），即 注：这两个公式在相似、证明可逆求行列式的值等方面很适用。 （4）方阵与具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但是它们的特征向量可能不相同。 （5）矩阵可逆的充分必要条件是的所有特征值不为零．如果可逆，则的特征值是； 的特征值是。 证明：当A可逆时，由,有，因为，知，故．所以是的特征值。 （6）若是矩阵的特征值，则对任何正整数k，是的特征值 证明： 若是A的特征值，则是的特征值；是的特征值，其中 是的多项式； 是矩阵A的多项式． 当可逆时， 是 的特征值。
特征值与特征向量之间有什么关系？
一个特征值只能有一个特征向量，（非重根）又一个重根，那么有可能有两个线性无关的特征向量，也有可能没有两个线性无关的特征向量（只有一个）。不可能多于两个。如果有两个，则可对角化，如果只有一个，不能对角化矩阵可对角化的条件：有n个线性无关的特征向量这里不同的特征值，对应线性无关的特征向量。
重点分析重根情况，n重根如果有n个线性无关的特征向量，则也可对角化
共轭转置矩阵的特征值与特征向量关系？
A与A的转置矩阵是有相同的特征值，但是他们各自的特征向量没有关系。
线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。
特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。
扩展资料：
考虑对于时间t的微分。其特征函数满足如下特征值方程：
其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数，如果λ = 0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。
一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。
反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现
为什么矩阵与其特征向量的乘积等于特征值与特征向量的乘积？
α是A的属于特征值p的特征向量
则Aα = pα
∴xAα = xp α
∴xp是xA的特征值, α 仍是 xA 的 属于特征值xp的特征向量
g(x) 是x的多项式， λ是A的特征值，α是A的属于特征值λ的特征向量
则g(λ) 是 g(A) 的特征值， α仍是g(A)的属于特征值g(λ)的特征向量)
∴矩阵乘特征值等于该矩阵乘特征向量。
矩阵特征值及特征向量关系？
x为矩阵A的特征值，a为A的特征值x对应的特征向量
则Aa=xa
定义 设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式
AX=λX (1)
成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成，
( A-λE)X=0 (2)
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
| A-λE|=0 , (3)
特征向量个数小于特征值个数？
如果x1,...,xk是n阶矩阵A关于特征值λ的线性无关的特征向量 令X=[x1,...,xk], X是一个列满秩的nxk的矩阵 存在n阶可逆矩阵Y使得Y的前k列是X，即Y=[X,*] 令B=Y^{-1}AY，则AY=YB，利用分块乘法可以得到 B= λI_k * 0 * 所以B至少有k个特征值是λ 这就说明代数重数一定不会小于几何重数 另一方面，如果λ是A的特征多项式的根，即det(λI-A)=0 那么λI-A是奇异矩阵，线性方程组(λI-A)x=0有非零解，任何一个非零解都是λ对应的特征向量 所以（对于n阶矩阵而言）特征值的几何重数至少是1，不可能是0
知道特征值怎么求特征向量？
求出特征值之后，把特征值代回到原来的方成里，这样每一行的每一个数字都是已知的，就成了一个已知的矩阵。例如求的不同的特值有两个，2和3.将2带回你的方程，假设这个矩阵是A，以这个矩阵作为已知条件，来求方程。也就是Ax=0的形式，把这个方程解出来。求得的所有无关的解向量，就是关于特征值2的特征向量。同理，再将3带回你的方程，得到的矩阵是B，求Bx=o的所有无关解向量。就是属于特征值3的特征向量。
