三角恒等变换课件(三角恒等变换课件ppt)
三角恒等变换讲解?
关于两角差的余弦公式
(1)公式的结构特点
公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.
(2)公式中的角α,β
公式中的角α,β不仅可以是角,而且可以是任意的整体,可以根据题目需要进行替换、变形代入,展开式仍然成立.
(3)公式的灵活应用
首先是公式的逆用,可以把符合公式特点的展开式合并,其次是角的灵活变化,如cos α=cos[(α+β)-β].
1.两角和与差的正弦公式的一般使用方法
(1)正用:把sin(α±β)从左向右展开.
(2)逆用:公式的右边化简成左边的形式,当结构不具备条件时,要用相关公式调节后再逆用.
(3)变形应用:它涉及两个方面,一是公式本身的变形;二是角的变形,也称为角的拆分变换,如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β).
2.公式T(α±β)的结构特征和符号规律
(1)结构特征:公式T(α±β)的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和.
(2)符号规律:分子同,分母反.
知识点2 两角和与差的正切公式的变形
(1) T(α+β)的变形:
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β).
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β).
tan αtan β=1-.
(2) T(α-β)的变形:
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β).
tan αtan β=-1.
知识点3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
三角恒等变换的化简?
原式=(2sinasina)/(2sinacosa)*(2cos²a/cos2a)
=(sina/cosa)*(2cos²a/cos2a)
=2cosasina/cos2a
=sin2a/cos2a
=tan2a
什么是三角恒等变换?
弦切互化、异名化同名、异次化同次、异角化同角。
(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍半角公式等进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.
(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.
(3)在三角变换时要选准解决问题的突破口,要善于观察角的差异,注意拆角和拼角的技巧;观察函数名称的异同,注意切化弦、化异为同的方法的选用;观察函数式结构的特点等.
①注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧:
(i)常值代换,特别是“1”的代换,如:1=sin2θ+cos2θ等;
(ii)项的分拆与角的配凑;
(iii)降次与升次;
(iv)万能代换.
②对于形如asinθ+bcosθ的式子,要引入辅助角φ并化成sin(θ+φ)的形式,这里辅助角φ所在的象限由a,b的符号决定,φ角的值由tanφ=a(b)确定.对这种思想,务必强化训练,加深认识.
三角恒等变换公式90度?
两角和与差的三角函数:
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
三角函数的起源:
早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯。他按照古巴比伦人的做法,将圆周分为360等份(即圆周的弧度为360度,与现代的弧度制不同)。对于给定的弧度,他给出了对应的弦的长度数值,这个记法和现代的正弦函数是等价的。
喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。
古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰,托勒密在《数学汇编》(Syntaxis Mathematica)中计算了36度角和72度角的正弦值,还给出了计算和角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。
三角恒等变换升幂降幂公式?
s inA^2=1一cos2A/2,cosA^2=1+cos2A/2。
简单的三角恒等变换特点?
三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍半角公式等进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.
(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.
(3)在三角变换时要选准解决问题的突破口,要善于观察角的差异,注意拆角和拼角的技巧;观察函数名称的异同,注意切化弦、化异为同的方法的选用;观察函数式结构的特点等.
①注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧:
(i)常值代换,特别是“1”的代换,如:1=sin2θ+cos2θ等;
(ii)项的分拆与角的配凑;
(iii)降次与升次;
(iv)万能代换.
②对于形如asinθ+bcosθ的式子,要引入辅助角φ并化成sin(θ+φ)的形式,这里辅助角φ所在的象限由a,b的符号决定,φ角的值由tanφ=a(b)确定.对这种思想,务必强化训练,加深认识.
简单的三角恒等变换公式?
简单的三角恒等变换万能公式有:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。
三角函数恒等变换技巧?
三角恒等变换解题常用技巧有切割化弦法、升幂降幂法、和积互化法、“1”的代换法等。“切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦,以有利于问题的解决或发现解题途径,其实质是“归一”思想。
三角恒等变换和差公式?
两角和与差的三角函数:
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
二倍角公式:
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
三倍角公式:
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
半角公式:
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
万能公式:
半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
积化和差公式:
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化积公式:
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
扩展资料:
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式。
倍角公式,是三角函数中非常实用的一类公式。就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数,在工程中也有广泛的运用。
和差化积公式:包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式,是三角函数中的一组恒等式,和差化积公式共10组。在应用和差化积时,必须是一次同名(正切和余切除外)三角函数方可实行。若是异名,必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次。
可以只记上面四个公式的第一个和第三个。
第二个公式中的
,即
,这就可以用第一个公式。
同理,第四个公式中,
,这就可以用第三个公式解决。
如果对诱导公式足够熟悉,可以在运算时把余弦全部转化为正弦,那样就只记住第一个公式就行了。
用的时候想得起一两个就行了。
无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。
苏教版三角恒等变换主要内容
弦切互化、异名化同名、异次化同次、异角化同角。
(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍半角公式等进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.
(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.
(3)在三角变换时要选准解决问题的突破口,要善于观察角的差异,注意拆角和拼角的技巧;观察函数名称的异同,注意切化弦、化异为同的方法的选用;观察函数式结构的特点等.
①注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧:
(i)常值代换,特别是“1”的代换,如:1=sin2θ+cos2θ等;
(ii)项的分拆与角的配凑;
(iii)降次与升次;
(iv)万能代换.
②对于形如asinθ+bcosθ的式子,要引入辅助角φ并化成sin(θ+φ)的形式,这里辅助角φ所在的象限由a,b的符号决定,φ角的值由tanφ=a(b)确定.对这种思想,务必强化训练,加深认识.