平面向量的数量积 课件
平面向量数量积公式？
平面向量a＝(a1,a2),b=(b1,b2),则a•b＝a1b1＋a2b2
平面向量数量积公式推导？
α=a1 i +a2 jβ=b1 i +b2 j i,j 表示单位坐标向量满足： ij=0 ,i²=1,j²=1 αβ=（a1 i +a2 j)(b1 i +b2 j) =a1b1 i²+a1b2 ij +a2b1ij+a2b2 j² =a1b1+a2b2
平面向量与空间向量的数量积定义？
这个证明和平面一样。首先有一个基本结论：空间向量数量积满足分配律a·(b+c)=a·b+a·c 设空间向量三个单位正交基为i、j、k向量（单位正交基的概念应该清楚吧，就是x、y、z轴正方向的三个单位向量） a=(x1,y1,z1)实际上就是a=x1 i+y1 j+z1 k b=(x2,y2,z2)实际上就是b=x2 i+y2 j+z2 k a·b=(x1 i+y1 j+z1 k)·(x2 i+y2 j+z2 k)用上面讨论的分配律展开，注意三个单位正交基互相点乘是0（因为它们互相垂直），自己和自己点乘是1（因为是单位向量）。 可得a·b=x1x2+y1y2+z1z2
平面向量的数量积及其应用？
两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积. 两向量α与β的数量积：α·β=|α|*|β|cosθ；其中|α|、|β|是两向量的模,θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π). 若有坐标α(x1,y1,z1) ；β(x2,y2,z2),那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2； |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)；|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2). 因此,用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|. 已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积) 即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b（"·“不可省略,若用“×”则成了向量积）
平面向量的数量积的运算公式？
平面向量数量积公式：a·b=|a||b|cosθ。已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
平面向量数量积公式推导过程？
数量积公式为模长乖模长乖夹角余弦值。
平面向量数量积公式的推导过程？
向量a点乘向量b＝向量a，b的模乘以夹角的余弦。
平面向量数量积的坐标表示推导？
向量的数量积也就是内积，你从字面上看就不需要夹角。其实不是不需要，而是在推导过程中，我们所取的i和j是x轴和y轴的单位向量 所以夹角为90度 所以推导过程i向量乘以j向量的时候需要乘以cos90度，即为0.
平面向量数量积的几何意义？
向量数量积的几何意义：一个向量在另一个向量上的投影。
定义
两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积
两向量α与β的数量积α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是两向量的模θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)
若有坐标α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)
把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影
因此用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|
已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积、点积。)
即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b"·不可省略若用×则成了向量积
扩展内容：
向量积性质
几何意义及其运用
叉积的长度 |a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。 [1]
代数规则
1.反交换律：a×b= -b×a
2.加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c
3.与标量乘法兼容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
4.不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
5.分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。
6.两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。 [1]
拉格朗日公式
这是一个著名的公式，而且非常有用：
(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)
a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),
证明过程如下：
二重向量叉乘化简公式及证明
可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。
这里给出一个和梯度相关的一个情形：
这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。
另一个有用的拉格朗日恒等式是：
这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。 [2]
矩阵形式
给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：
i×j=k；
j×k=i ；
k×i=j ；
通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设
a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k；
b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ；
则a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。
叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i+ a2j+ a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参看四元数（空间旋转）。 [2]
高维情形
七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。
七维叉积具有与三维叉积相似的性质：
双线性性：x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z；(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x；
反交换律：x×y+y×x= 0；
同时与 x 和 y 垂直：x· (x×y) =y· (x×y) = 0；
拉格朗日恒等式：|x×y|² = |x|² |y|² - (x·y)²；
不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。
平面向量数量积的坐标表示的证明？
向量的数量积也就是内积，你从字面上看就不需要夹角。其实不是不需要，而是在推导过程中，我们所取的i和j是x轴和y轴的单位向量 所以夹角为90度 所以推导过程i向量乘以j向量的时候需要乘以cos90度，即为0.
