等差前n项和性质研究课件(等差前n项和的性质)
等差数列前n项和性质及证明？
sn,s2n-sn,s3n-s2n..........成等差数列，公差为n^2*d
证明如下：
sk=ka1+k(k-1)d/2
s2k=2ka1+2k(2k-1)d/2
s3k=3ka1+3k(3k-1)d/2
s2k-sk=ka1+k(3k-1)d/2
s3k-s2k=ka1+k(5k-1)d/2
(s2k-sk）-sk=k^2*d
(s3k-s2k)-(s2k-sk）=k^2*d
所以
等差数列依次每项k之和仍为等差数列,其公差为原公差的k^2倍,即数列sk,s2k-sk,s3k-s2k也为等差数列
例子如下：
设等差数列an的前n项和为sn，若s3=9，s6=36,则a7+a8+a9=?
运用以上的性质，可得：s3,s6-s3,s9-s6
成等差数列
则2(s6-s3)=s3+(s9-s6)
得到s9-s6=2s6-3s3=45
故a7+a8+a9=45
第二个例子
设等差数列前6项为2,4,6,8,10,12
则
s2,
s4-s2,
s6-s4
成等差数列，
s2=6，s4-s2=14，s6-s4=22，它们的公差是8，是2^2
*2，
所以
sn,s2n-sn,s3n-s2n..........成等差数列，公差是n^2*d，而不是n*d。
继续上面这个题，求s20-s18的值
因为s2,
s4-s2,
s6-s4，........是首项为s2，公差为8的等差数列
所以s20-s18=s2+8*9=6+72=78
答毕
等差公式前n项求和公式？
等差数列设为{an}，公差为d，前n项和为Sn，按照等差数列的定义，从第二项起，每一项与前一项的差，都等于同一个常数d，那么，前n项和Sn：sn二a1十a2十a3十…十an二1/2[（a1十an）十（a2十a（n一1））十（a3十a（n一3））十…十（an十a1）]二1/2[（a1十an）xn]二（a1十an）n/2，即前n项和Sn，等于首项与第n项相加，再除以2，再乘以项数n。
等差数列an的前n项和？
一、 等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
等差数列的通项公式为：
an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式为：
Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)
以上n均属于正整数
从(1)式可以看出，an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项。
且任意两项am，an的关系为：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
和＝（首项＋末项）×项数÷2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
末项=首项+（项数-1）×公差
等差数列的应用：
日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。
若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。
等比等差数列前n项和公式？
1.等差数列前n项和公式(1) Sn=n(a1+an)/2(2) Sn=na1+n(n-1)d/22. 等比数列前n项和公式(1)当公比q=1时，Sn=na1(2)当q不等于1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或 Sn=(a1-an*q)/(1-q)
等差数列前n项和为sn？
等差数列前N项和公式S=(A1+An)N/2 ，等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 。
等差数列前n项和为222？
回答问题:等差数列前n项和为222，根据等差数列求前n项和公式可知，(a1十an)n÷2=222，(a1十an)n=444=4x111=4X3x37=12X37，令n=12，令a1=1，则a12=36，a12=a1十(12-1)d=36，11d=35，d=35/11，所以首项a1=1，公差d=35/11，前12项之和等于222。
分子等差分母等比怎么求前n项和？
一、前言
等比数列的相关概念，通项公式之前已经讲了，如果没看，或者是不懂得读者可以往前看一看，等差数列有前n项和，同样的等比数列也有前n项和，那这前n项和到底怎么求？
二、等比数列前n项和
等比数列的前n项和公式作者就直接给读者们公布了：
为什么直接就公布了，因为等比数列的求和公式在高中阶段只需要会用，就可以，没有必要知道，等比数列求和公式是怎么来的。
三、对于上述公式的分析
1)首先等比数列的通项公式与首项和公比有关。（如果不知道的读者可以去翻看一下作者之前公布的）
等比数列的前n项和同样的是与首项，公比有关，所以一道题目让你算通项公式和前n项和没有区别，只是需要注意等比数列的前n项和的公式还与公比是否为1有关，因为是否为1，导致前n项和的求和公式不同。
2)这里公比是否为1，是需要题目讨论的，如果说题目中并没有说明q是否为1，例如：
就比如说上述的求和，题目中并没有明确的说明q到底能不能取1，这就需要读者在求和的时候进行讨论。
等差数列的前n项和定义？
Sn=n*a1+n(n-1)d/2
等差数列{an}的通项公式
an=a1+(n-1)d
前n项和公式
Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2
等差数列怎么求和
教你一个简单易懂的方法，不用分奇偶考虑
比如说等差数列是1，2，3，4，5，6，7
我们给它写两遍，分成两行写，第二遍写的时候倒过来
1,2,3,4,5,6,7
7,6,5,4,3,2,1
这样每一个上面的加下面的是不是就是a1+an
那么2倍的前n项和不就是(a1+an)*n了么
所以s=(a1+an)n/2
扩展
等比数列公式前n项公式是Sn=a1（1-q^n）/（1-q）
等比数列前n项和公式及推导过程
等比数列前n项和公式：Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。
推导如下
因为an = a1q^(n-1)
所以Sn = a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1) (1)
qSn =a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n (2)
（zhi1）-（2）注意（1）式的第一项不变。
把（dao1）式的第二项减去（2）式的第一项。
把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。
以此类推,把（1）式的第n项减去（2）式的第n-1项。
（2）式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。
于是得到
(1-q)Sn = a1(1-q^n)
即Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。
等比数列的性质
①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
③若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则
（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…
（can），c是常数，（an*bn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
(6)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
等差数列前N项和求和公式？
设，a为首项，公差为d，前n项和为Sn
则
Sn=a+(a+d)+(a+2d)+……+{(n-1)d+a}={(n-1)d+a}+……+(a+2d)+(a+d)+a
所以
2Sn=【a+{(n-1)d+a}】✘n
={(2a+(n-1)d}✘n
所以
等差数列前n项和公式为
Sn={(2a+(n-1)d}✘n/2
=na+n(n-1)d/2
不等差数列前n项和公式？
通项公式
等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式
前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)
以上n均属于正整数.
推论
1.从(1)式可以看出,an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.
2.从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
3.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.
若m+n=2p,则am+an=2ap
4.其他推论
和＝（首项＋末项）×项数÷2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
末项=首项+（项数-1）×公差
推论3证明
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq
如am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d
=2a1+(m+n-2)d
同理得,
ap+aq=2a1+(p+q-2)d
又因为
m+n=p+q ;
a1,d均为常数
所以
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq
注：1.常数列不一定成立
2.m,p,q,n大于等于自然数
等差中项
在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项,且为数列的平均数.
且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式.
