数学归纳法
一、数学归纳法
数学归纳法实际上可以认为n=3时就可以沿用上面的归纳证明了。
关于上面这个注意事项，下面有一个有趣的例子：
命题：任意有限只鸟都是同一种。
证明：即证明任意n只鸟都是同一种。
当只有一只鸟，即n=1时，命题显然成立。
假设当n=k时成立，则当n=k+1时，即向k只鸟中加入一只鸟时，从原来的k只鸟中取出k-1只与新加入的鸟放到一起组成k只鸟，则根据归纳假设，这k只鸟是同一种，而取出的k-1只鸟与未取出的那只鸟也是同一种（即归纳假设：这k只鸟是同一种），所以这k+1只鸟都是同一种。
所以，根据数学归纳法，任意有限只鸟都是同一种。证毕。
这个命题显然是荒谬的。上面的证明的错误之处在于，当n=k+1=2时，即k=1时，k-1=0，这0只鸟不能用来传递证明原来的鸟与新加入的鸟是同一种。所以，归纳法中出现k-1之类的形式时，一定要注意验证初始情况。
二、什么是第二数学归纳法？
在中学数学教材和高考园地里，使用的数学归纳法一般都是以下列形式出现的：
“1对”；假设“n对”，那么“n+1也对”．
应该指出，上述形式是数学归纳法的基本形式，但不是唯一的形式．
第二数学归纳法可以概括为
详细地说，它分为以下三步：
(1)奠基：证明n=1时命题成立；
(2)归纳假设：设n≤k时命题成立；(区别在此步)
(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．
显然，第二数学归纳法与数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设．
三、什么是数学归纳法 与完全归纳法 不完全归纳法有什么区别
数学归纳法是完全归纳法的一种。是严谨的数学证明。它的主要思想有两个步骤，1、证明n=1时命题正确。2、假设当n=k是命题正确，以此来推导n=k+1时命题正确。这样对于一切自然数，命题都正确了。1可以推得2，2可以推得3，以此类推。
而不完全归纳法则只能证明n取其中某些数字时命题正确，没有证明对于所有的自然数都正确。
数学归纳法（Mathematical Induction, MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法 。
在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明无穷序列情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。
四、用数学归纳法证明的步骤?
基本步骤
（一）第一数学归纳法：
一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
（二）第二数学归纳法：
对于某个与自然数有关的命题P(n），
（1）验证n=n0时P(n）成立；
（2）假设n0≤nn0）成立，能推出Q(k）成立，假设
Q(k）成立，能推出
P(k+1）成立；
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。
数学归纳法证明步骤
五、什么是"数学归纳法"?
数学归纳法：
数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。
理论依据：
（1）理论根据是自然数的皮雅诺（peano,1858年-1932年，意大利数学家）公理，其中有一条叫做归纳公理：“如果某一正整数的集合M含有1，而且只要M含有正整数k，就一定含有k后面紧挨着的那个正整数k+1，那么M就是正整数集本身。”
现设P(n)是一个与正整数n有关的命题，用M表示使P(n)成立的正整数的集合。由数学归纳法的第一个步骤，可知命题P(1)成立，所以M含有1。再由数学归纳法的第二个步骤，可知在假设n＝k时命题P(k)成立后，可以推出n＝k＋1时命题P(k+1)也成立；换句话说，只要M含有正整数k，就一定含有k后面紧挨着的那个正整数k+1。因此，根据归纳公理，M就是正整数集本身，即命题P(n)对于所有正整数都成立。
（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可。
（3）根据实际问题确定使命题成立的第一个正整数可能是1。也可能是2，3等（有时还可能取n＝0或-1等）。例如教科书第120页上的例3，第一步应取n＝2。又如证明凸n边形有条对角线时，第一步应取n＝3。要切实理解命题P(n)中的正整数n在各种实际问题中代表什么。
（4）在完成第二个步骤时，要运用命题P(k)成立这一归纳假定，去推导命题P(k+1)也成立。不能离开P(k)成立这一条件，用其他方法导出P(k+1)成立的结果，因为这样就看不出P(k)成立到P(k+1)成立这一递推关系了。
