七年级上册数学知识总汇（高悬赏）

七年级（上）数学知识点归纳与总结

一、 知识梳理

知识点1：正、负数的概念：我们把像3、2、+0.5、0.03%这样的数叫做正数,它们都是比0大的数；像-3、-2、-0.5、 -0.03%这样数叫做负数。它们都是比0小的数。0既不是正数也不是负数。我们可以用正数与负数表示具有相反意义的量。

知识点2：有理数的概念和分类：整数和分数统称有理数。有理数的分类主要有两种：

注：有限小数和无限循环小数都可看作分数。

知识点3：数轴的概念：像下面这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

知识点4：绝对值的概念：

（1） 几何意义：数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|；

（2） 代数意义：一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

注：任何一个数的绝对值均大于或等于0（即非负数）．

知识点5：相反数的概念：

（1） 几何意义：在数轴上分别位于原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；

（2） 代数意义：符号不同但绝对值相等的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。

知识点6：有理数大小的比较：

有理数大小比较的基本法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

数轴上有理数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大。

用绝对值进行有理数大小的比较：两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数反而小。

知识点7：有理数加法法则：

(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

(2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

(3)一个数与0相加，仍得这个数．

知识点8：有理数加法运算律：

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

知识点9：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

知识点10：有理数加减混合运算：根据有理数减法的法则，一切加法和减法的运算，都可以统一成加法运算，然后省略括号和加号，并运用加法法则、加法运算律进行计算。

知识点11: 乘法与除法

1.乘法法则

2.除法法则

3.多个非零的数相乘除最后结果符号如何确定

知识点12:倒数

1. 倒数概念

2. 如何求一个数的倒数?（注意与相反数的区别）

知识点13:乘方

1. 乘方的概念,乘方的结果叫什么?

2. 认识底数,指数

3. 正数的任何次幂是_________,零的任何次幂________

负数的偶次幂是_________奇次幂是________

知识点14:混合计算

注意:运算顺序是关键,计算时要严格按照顺序运算.考试经常考带乘方的计算.

知识点15:科学记数法

科学记数法的概念? 注意a的范围

每一学科都有它的历史，数学也概莫能外。然而，和其他自然科学相比，数学有其独特之处。一百多年前，德国数学史家汗克尔（H.Hankel，1839-1873）就形象地指出过数学和其他自然科学的显著差异。他写道：

“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏。唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添砖加瓦。”

可以说，数学是积累的科学，它本身就是历史的记录。或者说，数学的过去溶化在现在与未来之中。鉴于此，本套书力求成为一面“镜子”，返璞归真地反映知识的来龙去脉、思想方法的深刻内涵以及科学文化的进步。为此，本套书在编写过程中溶入了一些数学史料和简略的数学史知识，以使学生开阔视野，启发思维，增加学习兴趣。为了使教师对书中所涉及到的数学史知识有更深入和较全面的了解，本文对七年级上册相关数学史知识予以相当介绍，以飧广大教师朋友。

最早认识并使用负数的是古代中国人，成书于公元1世纪的《九章算术》中就记录了负数及其运算法则。在进行筹算时，用红筹表示正数，黑筹表示负数。因为用笔记录时换色不便，一千多年后，数学家李冶（1192-1279）首创了在数字上加斜杠表示负数。如图1所示表示，可以说，这是世界上最早的负数记号。 图1 西方对负数的认识较晚，15世纪后才正式应用负数，使用的符号也是五花八门。例如威尔金斯1800年用表示；温特非尔德1809年用前加“┥”或“”表示该数为负数。1832年，W.波尔约用“”表示负数。后来又出现多种形式表示负数，如表示负数，相应的表示正数；以为负，为正；为负，为正。直到本世纪初，美国数学家亨廷顿（E.V. Huntington，1874.4-1952.11）才开始采用接近现代形式的符号：，逐渐成为现代的形式。 绝对值符号 现在通用的绝对值符号“| |”，是德国数学家外尔斯特拉斯（K.T.W. Weierstrass，1815-1897）在1841年率先引用的，后来为人们所广泛接受。符号“| |”的含义是，在实数范围内 1905年，甘斯用这个符号表示向量的长度，有时把这个长度也就叫做绝对值。外尔斯特拉斯已经指出，复数的绝对值是它的“模”，用向量解释复数，“模”、“绝对值”、“长度”都是一致的。可见甘斯符号的合理性，因而一直沿用到现在。 幻方 将1到的自然数排列成纵横各有n个数的正方形，使每行、每列、有时还包括两条主对角线的n个数的和（或连乘积）都相等[等于]，这种排列称为阶幻方，也叫阶纵横图。 4 9 2 3 5 7 8 1 6 纵横图的起源可以追溯到公元前2200多年。相传，我国大禹治水时，发现一个神龟，背上刻有图案，称“为洛书”（图2），表示神赐给他的一种旨意。与此有关的传说具有很强的神秘色彩。上面的这个图案用阿拉伯数码表示，就是一个如下的三阶纵横图： 图2 中国东汉学者郑玄（127-200）注易纬《乾凿度》中有“太一取其数以行九宫，四正四维皆合于十五”，大意是：太一神依照一定顺序巡行于九宫，九个位置的图案所显示出的数字表明太一神巡行的次第。因此古代中国人也称三阶纵横图为九宫数或九宫图。如北周学者甄鸾（535年左右）注《数术记遗》中说：“九宫者，二、四为肩，六、八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”。与前面的龟文暗合。 我国历代学者对纵横图都有过许多研究。“纵横图”一词最早出现在南宋杨辉（约十三世纪中叶）所著的《续古摘奇算法》（1275）之中。杨辉在书中还给出了三至十阶的纵横图及其变体共13种。 中世纪的阿拉伯学者对纵横图也有研究。1956年，西安出土了1278年阿拉伯学者扎马鲁丁为西安王推算历法期间用“东阿拉伯数字”所做的铁制六阶纵横图，见图3。用现代的阿拉伯数码表示如图4： 图3 图4 在欧洲，纵横图的造法大约开始于14世纪。1514年，德国著名的大画家兼数学家丢勒（A. Dürer，1471-1528）雕刻了一副名为《忧郁》的钢板画，画中有一个四阶幻方，如下： 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 这个纵横图不但行、列、对角线上的各个数字之和都是34（欧洲人称之为神秘的常数），而且把这个幻方四等分后，得到的每一部分的四个小方图的数字之和也等于34。此外，丢勒还独具匠心，精心巧妙地设计了一个小秘密，即在方图的最下面中间两个数15，14，连在一起恰好是绘画的年代1514，实在是“幻中之幻”。 1878年这个四阶纵横图在英国人傅兰雅传入中国。事实上，200多年前中国的数学家杨辉就已经得到了这个纵横图。数学家欧拉（L. Euler，1707-1783）和凯莱（A. Cayley，1821-1895）都曾指出，纵横图不仅仅是一种数学游戏，也有研究价值。 现在，人们已经发现各种各样的纵横图，如广义幻方，双重幻方、同心幻方、分块幻方、质数幻方、三维幻方等等。中国古人对纵横图的研究是组合数学发展初期的重要内容，现在，纵横图仍然是组合数学的研究课题。

“方程”一词的由来

中国古代数学著作《九章算术》第八卷的卷名为“方程”，这是“方程”一词的最早出处。但古代方程的含义与现代方程的含义有着较大的差别。 本卷的第一题导致一个线性方程组，现代写法如下： 。 28 4 3 31 35 10 36 18 21 24 11 1 7 23 12 17 22 30 8 13 26 19 16 29 5 20 15 14 25 32 27 33 34 6 2 9 中国古人在解题时把数据排成如图5的长方形（图6为现代的写法，即所谓的增广矩阵）， 图5

图6 《九章算术》的作者称为方程，这种解题方法称为“方程术”，这是汉语“方程”一词的开始。此题的术文记录了两千年前我国列线性方程组和解线性方程组的全过程，它相当于严谨的矩阵初等变换法。 方程术的基本思想是顺序消元，把增广矩阵一再用初等变换进行变换，使系数矩阵成为单位矩阵，从而得解。这种方法就是现在的高斯消去法。 现代意义上的列方程和解方程在我国古代称为“天元术”，这个方法大约在十三世纪出现在我国北方的数学界。李冶的《侧圆海镜》，《益古演段》，朱世杰（1300前后）《算学启蒙》、《四元玉鉴》都是十三、十四世纪的著作，他们用“天元术”来解决列方程的问题。 什么是天元术？首先根据题意“立天元一为某某”，与现代数学中“设 为某某”意义相同。其次再根据问题所设条件列出两个相等的多项式，两者相减，就得出一个一端为零的方程。 多项式的天元术记法相当于现代所谓的分离系数法：多项式按其各项幂的次数高低，自上而下直行书写，用中国数码字只记其相应系数，在一次项右边写一元字，常数项右边写一太字。例如，多项式的写法记为： 中国古代求得的多项式方程的解都是正的数值解，多项式方程数值解法的历史可以追溯到《九章算术》中的开方术。在筹算开平方和开立方的基础上，我国从十一世纪开始逐渐摸索到数值解高次方程的一般规律，得到所谓的“增乘开方法”。增乘开方法至秦九邵（约1202―1261）的《数术九章》而大备，在《侧圆海镜》中，李冶对此方法有新的创见。 在西方，数学家霍纳（W.G. Horner，1786―1837）也得到了该方法，但是已经比秦九邵晚500多年了。

古埃及纸草书 非洲东北部的尼罗河流域，是古代文明的发祥地之一，尼罗河孕育了古埃及的文化。在公元前3500―3000年间，在尼罗河下游建立了一个统一的国家，以后埃及的历史主要按统治的朝代命名。古埃及人在长期的生产实践和与自然斗争的过程中，逐渐掌握了丰富的科学知识。土地的丈量、商品的交易以及大规模宫殿和金字塔的建造，无疑都要使用较高深的数学。 目前，我们对古埃及数学的认识，主要根据两本用僧侣文写成的纸草书：一本是伦敦本，一本是莫斯科本。 1858年，在底比斯的拉美西斯神庙附近的一座小建筑物的废墟中发现了一卷纸草书，为英国人莱因德所购得，他死后归伦敦大英博物馆所有。后来称为“莱因德纸草书”，抄写者为阿梅斯，原作者不详。莱因德纸草书产生的年代，有好几种说法，多数学者认为是公元前1650年。 另一本叫做“莫斯科纸草书”，由俄罗斯收藏者戈列尼谢夫在1893年购得。1912年收藏在莫斯科国立造型艺术博物馆。这本纸草书的产生年代大约在公元前1850左右，比莱因德纸草书的产生要晚，但重性要稍逊于莱因德纸草书。

丢番图 丢番图是古希腊数学家，生平不详。主要活动年代是根据11世纪拜占廷学者普赛勒的一封信来确定的，其中提到丢番图在三世纪中叶的某些学术交往。另一线索见于四世纪希腊文选上的一首脍炙人口的短诗：“丢番图的一生，幼年占六分之一，青少年占十二分之一，又过了七分之一方结婚，五年后得子，子先父4年而卒，仅为父寿之半”。由此可推知他终年为84岁。 《算术》一书是丢番图的代表作，是数学历史上的一部重要著作。丢番图的特点是使问题的求解完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。《算术》一书成为世界最早的系统数学专著之一。对后来的阿拉伯数学，文艺复兴时期的意大利数学乃至整个欧洲的数学产生了巨大的影响，也为包括韦达、费马、高斯在内的许多数学家提供了创作源泉。

数学:

知识梳理：

⑴正数与负数：负数产生的必要性；具有相反意义的量。

⑵有理数的分类：整数、分数统称有理数；整数又包括正整数、零、负整数，分数又包括正分数与负分数。

⑶相反数、倒数、绝对值：

只有符号不同的两个数是互为相反数，a的相反数为－a；

一个数除以1所得的商是这个数的倒数，零没有倒数；

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

⑷数轴：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

⑸有理数的大小比较：

方法一：零大于一切正数，而小于一切负数；

两个负数，绝对值大的反而小。

方法二：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

实 数

一、 知识梳理：

1、实数的分类.有理数（正有理数、0、负有理数），无理数（无限不循环小数）

2、实数的有关概念：

（1）平方根：一般地，如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根.正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0

（2）算术平方根：正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根.

（3）立方根：一个数的立方等于a，这个数叫做a的立方根。

3、实数与数轴上的点一一对应。会在数轴上表示有些无理数

知识要点】

1．只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程

2．解一元一次方程的一般步骤是：

（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将未知数的系数化为“1”

3．一元一次方程ax=b的解的情况：

（1）当a≠0时，ax=b有唯一的解

（2）当a=0，b≠0时，ax=b无解

（3）当a=0，b=0时，ax=b有无穷多个解【

知识要点：

1．因式分解定义：把一个多项式化成几个_______式乘积的形式．因式分解与整式的乘法是互为________．

2.因式分解的基本方法：

（1）提取公因式法（首先考虑的方法）、应用公式法、分组分解法、十字相乘法．

（2）公式：a2-b2=__ _____，a2±2ab+b2=___ ____，

a3+b3=____ ____，a3-b3=___ ____．

3．因式分解的一般步骤

先看有没有公因式，若有立即提出；然后看看是几项式，若是二项式则用平方差、立方或立方差公式；若是三项式用完全平方公式或十字相乘法；若是四项及以上的式子用分组分解法，要注意分解到不能再分解为止.

一，知识梳理：

1、 有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方运算法则、混合运算

2、 运算律：交换律、结合律、分配律，去括号法则

(1)有理数的加法法则：

1. 同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加；

2. 绝对值不等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

3. 一个数与零相加仍得这个数；

4. 两个互为相反数相加和为零。

⑵有理数的减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数。

补充：去括号与添括号：

去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号。

添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变；在“－”号后边添括号，括到括号内的各项都要变号。

⑶有理数的乘法法则：

① 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

② 任何数与零相乘都得零；

③ 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；

④ 几个有理数相乘，若其中有一个为零，积就为零。

⑷有理数的除法法则：

法则一：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

法则二：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

⑸有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的给果叫做幂。

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

⑹有理数的运算顺序：

先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，则先算括号内，再算括号外。

⑺运算律：

①加法的交换律；

②加法的结合律；

③乘法的交换律；

④乘法的结合律；

⑤乘法对加法的分配律；

注：除法没有分配律。

3、 科学记数法:把一个数表示成a（1≤a