数学的圆知识点
数学的圆知识点
圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程，圆心，半径为r；
（2）一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；
（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条；
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当时，两圆内含； 当时，为同心圆。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
高中数学有关圆的知识点、公式、解题方法什么的、拜托了
（一）圆的标准方程
1. 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。
2. 圆的标准方程：已知圆心为（a，b），半径为r，则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
说明：
（1）上式称为圆的标准方程。
（2）如果圆心在坐标原点，这时a＝0，b＝0，圆的方程就是x2+y2=r2。
（3）圆的标准方程显示了圆心为（a，b），半径为r这一几何性质，即(x-a)2+(y-b)2=r2----圆心为（a，b），半径为r。
（4）确定圆的条件
由圆的标准方程知有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定．因此，确定圆的方程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定型条件。
（5）点与圆的位置关系的判定
若点M（x1，y1）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，即(x-a)2+(y-b)2＞r2
；
若点M（x1，y1）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即(x-a)2+(y-b)2＜r2
；
（二）圆的一般方程
任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x2+y2+Dx+Ey+F=0①
将①配方得：
②(x+D/2)2+(y+E/2)2=D2+E2-4F/4
当时，方程①表示以（-D/2,-E/2）为圆心，以为半径的圆；
当时，方程①只有实数解，所以表示一个点（-D/2,-E/2）；
当时，方程①没有实数解，因此它不表示任何图形。
故当时，方程①表示一个圆，方程①叫做圆的一般方程。
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：
（1）和的系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项。
以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。
要求出圆的一般方程，只要求出三个系数D、E、F就可以了。
（三）直线和圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系
研究直线与圆的位置关系有两种方法：
（l）几何法：令圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。
d>r直线与圆相离；d＝r直线与圆相切；0≤d<r直线与圆相交。
（2）代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一元二次方程，其判别式为Δ。
△＜0直线与圆相离；△＝0直线与圆相切；△＞0直线与圆相交。
说明：几何法研究直线与圆的关系是常用的方法，一般不用代数法。
2. 圆的切线方程
（1）过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2
（2）过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
；
（3）过圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)上一点P(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y+D·（x0+x）/2+E·(y0+y)/2+F=0
3. 直线与圆的位置关系中的三个基本问题
（1）判定位置关系。方法是比较d与r的大小。
（2）求切线方程。若已知切点M（x0，y0），则切线方程为（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
；
若已知切线上一点N（x0，y0），则可设切线方程为y-y0=k(x-x0)，然后利用d＝r求k，但需注意k不存在的情况。
（3）关于弦长：一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁，另外，当直线与圆相交时，过两交点的圆系方程为
x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0
（四）圆与圆的位置关系
1. 圆与圆的位置关系问题
判定两圆的位置关系的方法有二：第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数；第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较繁琐，故使用较少，通常使用第二种方法，具体如下：
圆(x-a1)2+(y-b1)2=r12与圆（x-a2)2+(y-b2)2=r22的位置关系，其中r1＞0，r2＞0
设两圆的圆心距为d，则d=根号下(a1-a2)2+(b1-b2)2
当d＞r1+r2时，两圆外离；
当d=r1+r2时，两圆外切；
当|r1-r2|＜d＜|r1+r2|时，两圆相交；
当d=|r1+r2|时，两圆内切；
当0＜d＜|r1-r2|时，两圆内含
两圆位置关系的问题同直线与圆的位置关系的问题一样，一般要转化为距离间题来解决。另外，我们在解决有关圆的问题时，应特别注意，圆的平面几何性质的应用。
