急求大一数学论文~
微积分在不等式中的应用
[摘要]本文应用微积分讨论了一些不等式的解法和证明,进一步揭示了微积分作为一种实用性很强的数学方法和工具,在求解不
等式中的作用。
[关键词]微积分高等数学不等式
不等式是数学研空虚究的一个基本问题,是属于初等数学的重要内容。
不等式的证明方法多种多样,初等数学中常用的方法有恒等变形,使用
重要不等式,用数学归纳法等,这些方法往往孝余需要极高的技巧和超强的
变形能力。
微积分是高等数学的核心,微积分思想方法是高等数学乃至整个
数学的典型方法,微积分思想方法的引入为解决不等式证明的难题找
到了突破口,用这来解不等式可使解题思路变得简单。下面就通过实例
分析微积分在证明不等式中的应用。
1、用导数的定义证明不等式
例1.设f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx,已知f(x)≤sinx,
求证:a1+2a2+…+nan≤1。
证明:方法1:因为f(0)=0,
由已知f
(x)-f(0)
x-0≤
sinx
x(
x≠0)
∴lim
x→0
f(x)-f(0)
x-0≤
1圯f'(0)≤1
即a1+2a2+…+nan≤1。
导数的定义是微积分的基础,此题还可运用两个重要极限及变形
进行证明。
方法2:由f(x)≤sinx,得f
(x)
x≤
sinx
x(
x≠0),即
a1s
inx
x+
a2s
in2x
x+
…+ans
innx
x≤
sinx
x
两端同时取x→0时的极限得
lim
x→0
a1s
inx
x+
a2s
in2x
x+
…+ans
innx
x≤
lim
x→0
sinx
x
由重要极限及其变形知:lim
x→0
sinkx
x=
k
∴a1+2a2+…+nan≤1,证毕。
2、利用函数的单调增减性
定理1:设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
(1)若在(a,b)内,f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;
(2)若在(a,b)内,f'(x)