一个数学对数方程,高手进
一、一个数学对数方程,高手进
log2((2^x)+1)+log2((2^x+1)-2)=2 log2((2^x)+1乘(2^x+1)-2)=2
((2^x)+1乘(2^x+1)-2)=4 在求X
二、请给我一些关于对数函数的公式.
由于指数函数y=ax在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它存在反函数
我们把指数函数y=ax(a>0,a≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=logax(a>0,a≠1).
因为指数函数y=ax的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=logax的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).
2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.
为了研究对数函数y=logax(a>0,a≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数y=log2x,y=log10x,y=log10x,y=log x,y=log x的草图
由草图,再结合指数函数的图像和性质,可以归纳、分析出对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像的特征和性质.见下表.
图
象
a>1
a<1
性
质
(1)定义域为x>0
(2)当x=1时,y=0
(3)当x>1时,y>0
0<x<1时,y<0
(3)当x>1时,y<0
0<x<1时,y>0
(4)在(0,+∞)上是增函数
(4)在(0,+∞)上是减函数
补充
性质
设y1=logax y2=logbx其中a>1,b>1(或0<a<1 0<b<1=
当x>1时“底大图低”即若a>b>1则y1>y2
当0<x<1时“底大图高”即若1>a>b>0,则y1>y2
利用函数的单调性可进行对数大小的比较.比较对数大小的常用方法有:
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较.
(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、-1等中间量进行比较.
3.指数函数与对数函数对比
为了揭示对数函数与指数函数之间的内在联系,下面列出这两种函数的对照表.
指数函数与对数函数对照表
名称
指数函数
对数函数
一般形式
y=ax(a>0,a≠1)
y=logax(a>0,a≠1)
定义域
(-∞,+∞)
(0,+∞)
值域
(0,+∞)
(-∞,+∞)
函
数
值
变
化
情
况
当a>1时,
当0<a<1时,
当a>1时
当0<a<1时,
单调性
当a>1时,ax是增函数;
当0<a<1时,ax是减函数.
当a>1时,logax是增函数;
当0<a<1时,logax是减函数.
图像
y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.
三、对数函数的运算方式有哪些?
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推导
1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b。
2、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
3、与(2)类似处理
MN=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
4、与(2)类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质4推广
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下:
由换底公式(换底公式见下面)[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)