1998-2005年全国数学竞赛初中数学联赛试题

2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题:（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得零分）

1、如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6。将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（ ）

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

2、若M= (x，y是实数)，则M的值一定是（ ）

（A）正数 （B）负数 （C）零 （D）整数

3、已知点I是锐角三角形ABC的内心， ， ， 分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△ 的外接圆上，则∠ABC等于（ ）

（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°

4、设A= ，则与A最接近的正整数是（ ）

（A）18 （B）20 （C）24 （D）25

5、设a、b是正整数，且满足于 ， ，则 等于（ ）

（A）171 （B）177 （C）180 （D）182

二、填空题: （共5小题，每小题6分，满分30分）

6、在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）。若现在时间恰好是12点整，则经过 秒钟后，△OAB的面积第一次达到最大。

7、在直角坐标系中，抛物线 （m>0）与x轴交于A，B两点。若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足 ，则m的值等于 。

8、有两副扑克牌，每副牌衫铅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是 。

9、已知D，E分别是△ABC的边BC，CA上的点，且BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结AD和BE，它们相交于点P。过点P分别作PQ‖CA，PR‖CB ，它们分别与边AB交于点Q，R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为 。

10、已知 都是正整数，且 =58，若 的最大值为A，最小值为B，则A＋B的值或斗好等于 。

三、解答题:（共4题，每小题15分，满分60分）

11、某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列。如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列。问原长方形队列有多少个同学。

12、已知p、q都是质数，且使得关于x的二次方程 至少有一个正整数根，求所有的质数对（p ，q）。

13、如图，分别以△ABC（△ABC为锐角三角形）的边AB，BC，CA为斜边向外作等腰直角三角形DAB，EBC，FAC。求证：（1）AE=DF；（2）AE⊥DF。

14、从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a、b、c (a