全国高一数学奥林匹克竞赛题

一、选择题（本大题洞棚共6小题，每小题5分，共30分）

1、命题“对任意的 ”的否定是 ( C )

A 不存在 B 存在

C 存在 D 对任意的

2、 的定义域为 ， 值域为 则区间 的长度 的最小值为( B )

A．3 B． C．2 D．

3、、等差数列 的通项公式是 ，其前 项和为 ，则数列 的前10项和为（ A ）

A．75 B．70 C．120 D．100

4、已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为 外心，动点P满足

,则P的轨迹定过 的（ D ）

A 内心 B 垂心 C 重心 D AB边的中点

5、若 是偶函数，则点( )的轨迹方程( B )

6、定义在 上的偶函数 ，满足 ，且 在 上是减函数．下面五个关于 的命题中，命题正确的个数有( C )

① 是周期函数；② 的图像关于 对称；③ 在 上是减函数；

④ 在 上为增函数；⑤ ．

（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个

二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共5分）

7、已知集合A={—1，3，m}，B={3，4}，若B A，则实数m的值是 4 ．

8、在三角形ABC中，若 ，则该三角形的最大内角等于 .

9、已知关于 的函数 .如果 时,其图象恒在 轴的上方,则 的取值范围是 .

10、△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量 ，若 则角C的大小为

11、若 为 的各位数字之和，如 ， ，则 ；记 ， ，…， ， ，则 11 .

12、若数列{an}的通项公式an＝ ，记 ，试通过计算 ， ， 的值，推测出 ＝ ．

13、对于函数 ，在使 ≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值称为函数 的“上确界”，则函数 的“上确界”为 2 .

14、函数 在区间 上与直线 只有一个公共点，且截直线 所得的弦长为 ，则搭颤轮满足条件的一组参数 和 的值可以是 .

15、函数 的图象和函数 的图象的交点个数为 3 .

16、某校对文明班的评选设计了 五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样 来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出 ，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 c ．（填入 中的某个字母）

三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17（本题满分12分）设命题 函数 是 上的减函数，命题 函数 在 的值域为知信 ．若“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，求 的取值范围.

解：由 得 ………………………………………………3分

，在 上的值域为 得 …………… 7分

且 为假， 或 为真 得 、 中一真一假．

若 真 假得， ……………………………9分

若 假 真得， ． ………………………………………………11分

综上， 或 ． ………………………………………………12分.

18（本小题满分12分）在 中，已知内角 ，边 .设内角 ,面积为 .

(1) 求函数 的解析式和定义域；

(2) 求 的最大值.

解：（1） 的内角和

………………………1分

……………4分

…………………6分

（2） ……………8分

…………11分

当 即 时，y取得最大值 ………………………12分

19（本小题满分13分）已知函数 的定义域为 ，值域为[5,4]；函数 .

(Ⅰ) 求函数g(x)的最小正周期和最大值;

(Ⅱ) 当 , 且g(x) =5时, 求tan x.

解：f(x)=a(1－cos2x)－ sin2x＋b

=－a(cos2x＋ sin2x)＋a＋b=－2a sin(2x＋ )＋a＋b . ----------------------------2分

∵x∈ ，∴2x＋ ，sin(2x＋ ) . 显然a=0不合题意.--------3分

(1) 当a＞0时,值域为 ,即 -----------------------------5分

(2) 当a＜0时,值域为 ,即 6分

(Ⅰ) 当a＞0时，g(x)=3sinx4cosx=5sin(x1), ∴T=2, g(x)max=5;

当a＜0时，g(x)= 3sinx2cosx= sin(x2),

∴ T=, g(x)max= . 8分

(Ⅱ)由上可知，

当a＞0时, 由g(x)=5sin(x1)，且tan1= , g(x)max=5，此时x1＝2k + (k∈Z).

则x=2k + 1(k∈Z), x∈(0, )，∴tanx=cot 1＝ . 10分

当a