2010年大学生数学竞赛题目

一、2010年大学生数学竞赛题目

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷

（非数学类，2010）

考没态试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.

一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）.

(1) 求极限 .

(2) 计算 ，其中 为下半球面 的上侧， .

(3) 现要设计一个容积为 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积 元，而侧面的材料费为单位面积 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？

(4) 已知 在 内满足 ，求 .

二、（10分）求下列极限

(1) ； (2) , 其中 .

三、（10分）设 在 点附近有定义，且在 点可导， . 求 .

四、（10分）设 在 上连续，无穷积分 收敛. 求 .五、（12分）设函数 在 上连续，在 内可微，且 . 证明：(1) 存在 使得 ；(2) 存在 使得 .

六、（14分）设 为整数，

.

证明: 方程 在 内至少有一个根.

七、（12分）是否存在 中的可微函数 使得 ？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.

八、(12分枯宽源)设 在 上一致连巧宴续，且对于固定的 ，当自然数 时 . 证明: 函数序列 在 上一致收敛于0.

二、2010年大学生数学竞赛题目

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷

（非数学类，2010）

考没态试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.

一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）.

(1) 求极限 .

(2) 计算 ，其中 为下半球面 的上侧， .

(3) 现要设计一个容积为 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积 元，而侧面的材料费为单位面积 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？

(4) 已知 在 内满足 ，求 .

二、（10分）求下列极限

(1) ； (2) , 其中 .

三、（10分）设 在 点附近有定义，且在 点可导， . 求 .

四、（10分）设 在 上连续，无穷积分 收敛. 求 .五、（12分）设函数 在 上连续，在 内可微，且 . 证明：(1) 存在 使得 ；(2) 存在 使得 .

六、（14分）设 为整数，

.

证明: 方程 在 内至少有一个根.

七、（12分）是否存在 中的可微函数 使得 ？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.

八、(12分枯宽源)设 在 上一致连巧宴续，且对于固定的 ，当自然数 时 . 证明: 函数序列 在 上一致收敛于0.

三、2010全国初二数学竞赛的题目

一、选择题 (每小题4分，共40分) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答

案前的英文字母写在下面的表格内。

2. 若a2a30，则

(A) (B) (C) a1 (D) 0