2008年全国初中数学竞赛决赛的试题和详细答案

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

本题共有6小题，每题均给出了代号为 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.

1．设 ， ，且 ，则代数式 的值为 （ ）

5. 7. 9. 11.

【答】 .

解 由题设条件可知 ， ，且 ，所以 是一元二次方程 的两根，故 ， ，因此 . 故选 .

2．如图，设 ， ， 为三角形 的三条高，若 ， ， ，则线段 的长为（ ）

. 4. . .

【答】 .

解 因为 ， ， 为三角形 的三条高，易知 四点共圆，于是△ ∽△ ，故 ，即 ，所以 .

在Rt△ 中， . 故选 .

3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张厅迹卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）

. . . .

【答】 .

解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个.

所以所组成的数是3的倍数的概率是 . 故选 .

4．在△ 中， ， ， 和 分别是这两个角的外角平分线，且点 分别在直线 和直线 上，则 （ ）

. .

. 和 的大小关系不确定.

【答】 .

解 ∵ ， 为 的外角平分线，∴ .

又 ，∴ ，

∴ .

又 ，

∴

，

∴ . 因此， .故选 .

5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，销裂这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为 ，则 的最小值为 （ ）

. . . .

【答】 .

解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.

设5种商品降价前的价格为 ，过了 天. 天后每种商品的价格一定可以表示为

，其中 为自然数，且 .

要使 的值最小，五种商品的价格应该分别为： ， ，

， ， ，其中 为不超过 的自然数.

所以 的最小值为 . 故选 .

6． 已知实数 满足 ，则 的值为（ ）

. 2008. . 1.

【答】 .

解 ∵ ，

∴ ，

，

由以上两式可得 . 所以 ，解得 ，所以

.

故选 .

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1．设 ，则 .

解 ∵ ，∴ ，

∴

.

2．如图，正方形 的边长为1， 为 所在直线上的两点，且 ， ，则四边形 的面积为

解 设正方形 的中心为 ，连 ，则 ， ,

, ∴ .

又 ，

，

所以△ ∽△ ，故 ，从而 .

根据对称性可知，四边形 的面积

.

3．已知二次函数 的图象与 轴的两个交点的横坐亏伏闭标分别为 ， ，且 .设满足上述要求的 的最大值和最小值分别为 ， ，则

解 根据题意， 是一元二次方程 的两根，所以 ， .

∵ ，∴ ， .

∵方程 的判别式 ，∴ .

，故 ，等号当且仅当 时取得；

，故 ，等号当且仅当 时取得.

所以 ， ，于是 .

4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 1 .

解 到 ，结果都只各占1个数位，共占 个数位；

到 ，结果都只各占2个数位，共占 个数位；

到 ，结果都只各占3个数位，共占 个数位；

到 ，结果都只各占4个数位，共占 个数位；

到 ，结果都只各占5个数位，共占 个数位；

此时还差 个数位.

到 ，结果都只各占6个数位，共占 个数位.

所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是 的个位数字，即为1.

第二试 （A）

一．（本题满分20分） 已知 ，对于满足条件 的一切实数 ，不等式

（1）

恒成立.当乘积 取最小值时，求 的值.

解 整理不等式（1）并将 代入，得

（2）

在不等式（2）中，令 ，得 ；令 ，得 .……………………………5分

易知 ， ，故二次函数 的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.

由题设知，不等式（2）对于满足条件 的一切实数 恒成立，所以它的判别式 ，即 . …………………………………10分

由方程组

（3）

消去 ，得 ，所以 或 .

又因为 ，所以 或 ， ………………………………15分

于是方程组（3）的解为 或

所以 的最小值为 ，此时 的值有两组，分别为

和 .…………………20分

二．（本题满分25分） 如图，圆 与圆 相交于 两点， 为圆 的切线，点 在圆 上，且 .

（1）证明：点 在圆 的圆周上.

（2）设△ 的面积为 ，求圆 的的半径 的最小值.

解 （1）连 ，因为 为圆心， ，所以△ ∽△ ，从而 .…………………5分

因为 ，所以

，

所以 ，因此点 在圆 的圆周上. …………………………………10分

（2）设圆 的半径为 ， 的延长线交 于点 ，易知 .设 ， ， ，则 ， ，

.…………………………15分

因为 , , ，所以△ ∽△ ，所以 ，即 ，故 . ………………………………20分

所以 ，即 ，其中等号当 时成立，这时 是圆 的直径.所以圆 的的半径 的最小值为 . …………………25分

三．（本题满分25分）设 为质数， 为正整数，且

（1）

求 ， 的值.

解 （1）式即 ，设 ，则

（2）

故 ，又 ，所以 （3） ……………………5分

由（1）式可知， 能被509整除，而509是质数，于是 能被509整除，故 为整数，即关于 的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式 为完全平方数.………………10分

不妨设 （ 为自然数），则 .

由于 和 的奇偶性相同，且 ，所以只可能有以下几种情况：

① 两式相加，得 ，没有整数解.

② 两式相加，得 ，没有整数解.

③ 两式相加，得 ，没有整数解.

④ 两式相加，得 ，没有整数解.

⑤ 两式相加，得 ，解得 .

⑥ 两式相加，得 ，解得 ，而 不是质数，故舍去.

综合可知 . …………………………………20分

此时方程（3）的解为 或 （舍去）.

把 ， 代入（2）式，得 .………………………25分

第二试 （B）

一．（本题满分20分）已知 ，对于满足条件 的一切实数对 ，不等式 （1）

恒成立.当乘积 取最小值时，求 的值.

解 由 可知 .

在（1）式中，令 ，得 ；令 ，得 .

将 代入（1）式，得 ，即

（2）……………………………5分

易知 ， ，故二次函数 的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.

由题设知，不等式（2）对于满足条件 的一切实数 恒成立，所以它的判别式 ，即 . …………………………………10分

由方程组

（3）

消去 ，得 ，所以 或 ，又因为 ，所以 或 . …………………………………15分

于是方程组（3）的解为 或 所以满足条件的 的值有两组，分别为 和 .……………………20分

二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

第二试 （C）

一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）设 为质数， 为正整数，且满足

求 的值.

解 （1）式即 ，

设 ，则

（3）

故 ，又 ，所以

（4） ………………………5分

由（1）式可知， 能被509整除，而509是质数，于是 能被509整除，故 为整数，即关于 的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式 为完全平方数. ……10分

不妨设 （ 为自然数），则 .

由于 和 的奇偶性相同，且 ，所以只可能有以下几种情况：

① 两式相加，得 ，没有整数解.

② 两式相加，得 ，没有整数解.

③ 两式相加，得 ，没有整数解.

④ 两式相加，得 ，没有整数解.

⑤ 两式相加，得 ，解得 .

⑥ 两式相加，得 ，解得 ，而 不是质数，故舍去.综合可知 ，此时方程（4）的解为 或 （舍去）. …………………………………20分

把 ， 代入（3）式，得 ，即 .

代入（2）式得 ，所以 ， ，因此 .

…………………25分