数学竞赛题
数学竞赛题
1.存在
证明：因为方程px^2+qx+p=0,且方程有有理数解
所以q^2-4p^2为平方数
设q^2-4p^2=k^2
q^2-k^2=4p^2
(q-k)(q+k)=4p^2
因为p,q为质数，且k>0
所以q+k>q-k,p^2>=4
可得出一下几组解
(1)q-k=1,q+k=4p^2
相加得：2q=(1+4p^2)
q=(4p^2+1)/2
因为4p^2为偶数
所以4p^2+1为奇数
所以q不是整数
所以不成立
(2)q-k=2,q+k=2p^2
所以q=p^2+1
因为质数除2以外都是奇数
所以当质数p>2
所以p^2为奇数
所以p^2+1为偶数且大于2，悄丛即q为大于2得偶数，那么与q为素数不符
所以有且只有p=2时
q=2^2+1=5
所以有一组解:p=2,q=5
到这里就可以说“存在”
不过可以继续全部验证：
(3)q-k=4,q+k=p^2
所以q=(p^2+4)/2
因为当素数p>2，所以p为奇素数，所以p^2为奇数
所以奇数+偶数=奇数
奇数/2不为整数
所以当p>2，不成立
所以p=2
同样q=5
(4)q-k=p,q+k=4p
所以q=5/2p
所以如果q为整数
所以p为2的倍数
所以p=2
q=5
一共就这么几种情况，得出相同的结论，有且只有一组(p,q)
为p=2,q=5
其实步骤中(3)(4)可以不写出来
因为(2)已经得出结论了~~不过为旅者了让你更明白，所以费点劲打出来了~~
希望你能明白~~
x^2+y^2=208(x-y) x,y为正整数
解：x^2+y^2=208x-208y
x^2-208x+y^2+208y=0
x^2-208x+104^2+y^2+208y+104^2=104^2*2
(x-104)^2+(y+104)^2=104^2*2
因为x,y为正整数
所以y+104>104
y+104>=105
并且（y+104)^22
所以p^2为奇数
所以p^2+1为偶数且大于2，悄丛即q为大于2得偶数，那么与q为素数不符
所以有且只有p=2时
q=2^2+1=5
所以有一组解:p=2,q=5
到这里就可以说“存在”
不过可以继续全部验证：
(3)q-k=4,q+k=p^2
所以q=(p^2+4)/2
因为当素数p>2，所以p为奇素数，所以p^2为奇数
所以奇数+偶数=奇数
奇数/2不为整数
所以当p>2，不成立
所以p=2
同样q=5
(4)q-k=p,q+k=4p
所以q=5/2p
所以如果q为整数
所以p为2的倍数
所以p=2
q=5
一共就这么几种情况，得出相同的结论，有且只有一组(p,q)
为p=2,q=5
其实步骤中(3)(4)可以不写出来
因为(2)已经得出结论了~~不过为旅者了让你更明白，所以费点劲打出来了~~
希望你能明白~~
x^2+y^2=208(x-y) x,y为正整数
解：x^2+y^2=208x-208y
x^2-208x+y^2+208y=0
x^2-208x+104^2+y^2+208y+104^2=104^2*2
(x-104)^2+(y+104)^2=104^2*2
因为x,y为正整数
所以y+104>104
y+104>=105
并且（y+104)^2
