六年级数学故事

祖冲之苦算圆周率

圆周率是指平面上圆的周长与直径之比。祖冲之通过艰苦的努力，他在世界数学史上第一次将圆周率（Л）值计算到小数点后七位，即3.1415926到3.1415927之间。他提出约率22／7和密率355／113，这一密率值是世界上最早提出的，比欧洲早一千多年，所以有人主张叫它陵笑“祖率”。他将自己的数学研究成果汇集成一部著作，名为《缀术》，唐尺脊含朝国学曾经将此书定为数学课本。他编制的《大明历》，第一次将“岁差”引进历法。提出在391年中设置144个闫月。推算出一回归年的长度为365.24281481日，误差只有50秒左右。他不仅是一位杰出的数学家和天文学家，而且野谨还是一位杰出的机械专家。重新造出早已失传的指南车、千里船等巧妙机械多种。此外，他对音乐也有研究。著作有《释论语》、《释孝经》、《易义》、《老子义》、《庄子义》及小说《述异记》等，均早已遗失。

小孙裂蚂蚁在蚁洞里住久了，便想出去闯天下。于是，它告别了小伙伴，带着一些食物走向了它十分向往的大城市。

一天它来到了数字城。小蚂蚁刚踏进城门，就被两个圆头圆脑的家伙给拦住了，它定眼一看，这是两个“0”。两个零同时说：“什么人，想进数字城？先拿出智商凭证，没有，就先过了我们这一关。”小蚂蚁好奇了：这里干什么呀，进门先要做测试？好，就让我来试一试。零守卫摇身一变，成了个空空的“九宫格”。它叫来许多数字，对小蚂蚁说：“把1——9填进格子中，使横、竖每行每列的和都相等。”小蚂蚁一看，大笑：“这种东西能难得住我？”说完，随手大笔一挥，写出来：

4

9

2

3

5

7

8

1

6

守卫一下子就不见了，小蚂蚁的眼前展现出一条宽阔的大道。

小蚂蚁踏上了这条路，正当它高高兴兴的时候，肚子却饿的“咕咕”叫了。小蚂蚁打开包裹，呀，食物和钱都不见了，可能是路上被偷了，这可怎么办呢？突然他看见前面的烧饼店则宽闭聚满了数字，原来是店主在搞活动。店主举着喇叭大喊：“谁能回答出这道题就奖三个烧饼。一个饼煎一面要三分钟，现在锅子能同时煎两个饼，问三个烧饼两面都要煎最快要几分钟？”客人们都说要12分钟。小蚂蚁陷入了沉思，这道题不可能这么简单，最少，最少，啊，有了！小蚂蚁对周围的数字们说：“可以这样做，把1号和2号饼先煎三分钟，这时候两个饼都熟了一面。然后把2号饼取出，放入3号饼，同时1号饼翻身再煎三分钟，这时的1号饼已经全部熟了，3号饼只熟了一面。最后再把2号和3号饼不熟的一面一起煎三分钟，就大功告成了。巧裂这种方法只要9分钟。”店主宣布小蚂蚁获胜，并且奖给它三个烧饼。

事后小蚂蚁想，虽然在这里过的不是很顺利，但是有许多乐趣。想着想着，它就想留在这不走了。可是，办手续的时候官员又给它出了一道测试题：彼德不喜欢吃面条，苏伟不喜欢吃汉堡，喜欢吃面条的是法国人，喜欢吃汉堡的是美国人。里奇不是中国人，他也不喜欢吃面条。问，这三个人分别是什么国家的人？小蚂蚁左思右想得不到答案，同学们，你们能帮助它吗？

里奇是美国人

苏伟是法国人

彼得是中国人

我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：

三人同行七十稀，

五树梅花甘一枝，

七子团圆正半月，

除百零五便得知。

正半月暗指15.除百零五的原意是，当冲圆所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。

这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。

按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：

70×2+21×3+15×4=263，

263=2×105+53，

所以，这队士兵至少有53人。

在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：

70是5与7的倍数，而用3除余1；

21是3与7的倍数，而用5除余1；

15是3与5的倍数，而用7除余1.

因而

70×2是5与7的倍数，用3除余2；

21×3是3与7的倍数，用5除余3；

15×4是3与5的倍数，用7除余4.

如果一个数以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b.所以，把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足3除余2、用5除余3、用7除余4的要求。一般地，

70m+21n+15k （1≤m＜3， 1≤n＜5，1≤k＜7）

能同时满足用3除余m 、用5除余n 、用7除余k 的要求。除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。

我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三个除数不再是3、5、7，应该怎样去求出类似的有用的数呢？

为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除散岩塌以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了三人同行七十稀.

为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。3与7的最小公倍数是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我们得枣或到了五树梅花甘一枝.

为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。3与5的最小公倍数是3×5=15，15除以7恰好余1，因而我们得到了七子团圆正半月.

3、5、7的最小公倍数是105，所以除百零五便得知.

依照上面的思路，我们可以举一反三。

例如：试求一数，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5.

解 我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因而35×3=105除以4余1，105是5与7的倍数而用4除余1的数。

我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因而28×7=196除余5余1，所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。

最后求是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因而20×6=120除以7余1，所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。

利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的解：

105×3+196×2+120×5=1307.

由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140，1307大于140，所以1307不是合乎题目要求的最小的解。用1037除以140得到的余数是47，47是合乎题目的最小的正整数解。

一般地，

105m+196n+120k （1≤m＜4，1≤n＜5，1≤k＜7）

是用4除余m，用5除余n，用7除余k的数；（ 105m+196n+120k）除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。

上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。

35+196×2+120×5=1027

796年的一天，一个青年开始做导师留的数学题。

前两道题完成顺利。只剩第三道桐则题：要求只用尺规，画出一个正17边形。

这位青年绞尽脑汁，但是毫无进展。

困难激起了斗志。他终于完成了这道难题。

导师看到仿轮正学生的作业惊呆了。他激动地说：“你知道吗？你解开了遗留两千多年的数学难题！”

原来，导师因为失误，把这道题目的纸条交给学生。

每当回忆时，这位青年总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它备悔解出来。”

这位青年就是数学王子高斯。