初三数学《圆》

  （1）连结AD，∵A，C，B，F四点共圆，

∴∠EDF=∠CAE，—---[圆内接四边形外角等于内对角】

∴∠DEF=∠ACD

=∠ADC---[由垂径定理推得］}

=∠AEC—--[同弧所对圆周角相等］

∴△ACE～△DFE，

∴AC/DF=CE/EF，

∴AC*EF=CE*DF。
  

(2)易知∠FCB=∠FAB=∠EAD=∠DAC=∠FBC

[圆内接四边形外角等于内对角，同弧所对圆周角相等]

∴FB=FC

易知∠FCD=∠FBC+∠BFC

=∠FCB+∠BFC----[已证]

=∠FAB+∠BAC--[同弧所对圆周角相等]

=∠FAC。
  

∴△FAC～△FCD，

∴FA/FC=FC/FD，又FC=FB，

∴FB^2=FA*FD

AB为直径，∠EAC=120°，则∠ACB=90°，∠BAC=∠DAC=60°，

∴AC=BC/√3=2√3，

∴AD=2AC=4√3--[30°直角三角形性质］

(3)AB为直径，CD弧=AD弧，DE⊥AB，则AF=DF

证明：连结CD，AD，BD，AB为直径，∠ADB=90°，∠BCD=90°

∴∠ADE=90°-∠BDE=∠DBA

CD弧=AD弧，∴∠DBA=∠ACD=∠CAD，

∴∠FAD=∠FDA，

∴AF=DF

还有命题：

AB为直径，AF=DF，DC⊥AB，则CD弧=AD弧

AB为直径，CD弧=AD弧，AF=DF，则DC⊥AB

都是真命题！。