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  根号与平方根与立方根 现在,我们都习以为常地使用根号,并感到它使用起来既简明又方便。那么,根号是怎样产生和演变成现在这种样子的呢?古时候,埃及人用记号“┌”表示平方根。印度人在开平方时,在被开方数的前面写上ka。1840年前后,德国人用一个点“。
  ”来表示平方根,两点“。。”表示4次方根,三个点“。。。”表示立方根,比如,。3、。。3、。。。3就分别表示3的平方根、4次方根、立方根。到十六世纪初,可能是书写快的缘故,小点上带了一条细长的尾巴。1525年,路多尔夫在他的代数著作中,首先采用了根号,比如他写 4是2,9是3,并用 8,8表示 ,。
  但是这种写法未得到普遍的认可与采纳。与此同时,有人采用“根”字的拉丁文radix中第一个字母的大写R来表示开方运算,并且后面跟着拉丁文“平方”一字的第一个字母q,或“立方”的第一个字母c,来表示开的是多少次方。例如,现在的 ,当时有人写成R。
  q。4352。现在的 ,用数学家邦别利（1526—1572年）的符号可以写成R。c。7p。R。q。14╜,其中“?╜”相当于今天用的括号,P相当于今天用的加号（那时候,连加减号“ ”“-”还没有通用）。直到十七世纪,法国数学家笛卡尔（1596—1650年）第一个使用了现今用的根号“ ”。
  在一本书中,笛卡尔写道：“如果想求某数的平方根,就写作 ,如果想求某数的立方根,则写作 。” 这是出于什么考虑呢?有时候被开方数的项数较多,为了避免混淆,笛卡尔就用一条横线把这几项连起来,前面放上根号√（不过,它比路多尔夫的根号多了一个小钩）就为现在的根号形式。
  现在的立方根符号出现得很晚,一直到十八世纪,才在一书中看到符号3^√的使用,比如25的立方根用“3^√”表示。以后,诸如“3^√”等等形式的根号渐渐使用开来。由此可见,一种符号的普遍采用是多么地艰难,它是人们在悠久的岁月中,经过不断改良、选择和淘汰的结果,它是数家们集体智慧的结晶,而不是某一个人凭空臆造出来的,也不是从天上掉下来的。
  平方根,又叫二次方根,对于非负实数来说,是指某个自乘结果等于的实数,表示为(√x),其中属于非负实数的平方根称算术平方根。（正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根。）有时我们说的平方根指算术平方根。一个正数如果有平方根,那么必定有两个,它们互为相反数。
  如果我们知道了这两个平方根中的一个,那么立即可以得到它的另一个平方根。正数a的平方根可以记作“±√a”,a称为被开方数。正整数的平方根通常是无理数。负数有平方根吗?其实,没有一个数的平方根是小于零的,所以负数没有平方根（没有意义）。如果一个数x的立方等于a,即x的三次方等于a(x^3=a),那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做三次方根。
  
  立方根,类似于平方根的表示方法,读作“三次根号a”其中,a叫做被开方数,3叫做根指数。（a不等于0） 求一个数a的立方根的运算叫做开立方。所有实数都有且只有一个立方根。正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。在现实生活中,我们可以通过平方（立方）运算来寻求平方根（立方根）,并可以用来验证开平方（开立方）的正确性。