数学有关于球的题目？

想到了这个：平面上半径不同的三个圆，任意两个圆都有两条外公切线交于一点，而这样的点一共有三个，有一个定理是这三个交点总是共线的。这个定理美妙而易于理解。但它的证法很多，给我印象最深的是它的几个奇葩证法，几年前看到瞬间打破了我的三观，比定理本身不知有趣到哪里去了。叙述如下：

在这个平面的三个圆上放三个球，每个球的半径都等于它底下的那个圆的半径。显然，这个平面是这三个球的一个公切面。再把公切线想像成这三个球确定的三个圆锥的母线在平面上的投影。显然三个圆锥的顶点都在这个平面上，且这三个顶点就是待证共线的三点。这三点是显然共线的，因为我们可以在三个球上找到另一个公切面（

想像一块玻璃板从上面盖下去

），那么这个切面上也包含了三个圆锥的顶点，而这两个切面的交线是唯一的一条直线。这个证法的妙处在于把平面几何问题通过在空间里做辅助线进而巧妙地在空间里解决了。另外还有一个简单到耍流氓的一句话证法：想象这是三个

等大

的乒乓球的透视图，圆越小说明离你越远。依据透视学的理论，这三组实际上平行的公切线都存在交点也就是消逝点，而这三个消逝点都位于地平线上。如果第一眼看不明白，记得把题图旋转180度。出处：

Matrix67: The Aha Moments

其实在Matrix67大神的博客里，这个还远远不算是最有趣的"(ºДº*)ps:评论区已出现不少爱好者对这两种证法作出进一步解释，包括证法1的通俗解释和特殊情况，和证法2的疑问和有关依据。作为我第一条过百赞的答案，一家之言说不出的东西他们都补充上了，感谢你们！(•̀⌄•́)

2016-5-25 更新：

感谢评论区 @倪泽远 指出，第一种证法不完全，三个不等大的球在题目中已有一个外公切面的情况下并不总是存在第二个公切面。这种情况下就需要靠其他证法来补充了。========================================================================

2016-5-28 更新：

破300赞了，那么我再感激地歪个楼，找几个相似的定理与证法，这些都是将平面几何问题的辅助线做到空间去的巧妙证法，补了点图，祝阅读愉快~一、另一个平面三圆定理 问题：平面上三圆两两相交于六点。试证明三条公共弦共点。这个问题就是评论区里提到的第一条定理的“对偶定理”。证明：

把这三个圆想像为三个球的大圆。为方便叙述，我们把三个球的球心确定的平面记作 α。显然，平面 α 在三个球上的截面就是题目的这三个大圆，而 α 上的三个大圆的三条公共弦即是每两个球之间的公共小圆在 α 上的投影。我们要证明的就是三个公共小圆在平面 α 上的投影共点。注意到三个球交于两点（答主注：

意思是一定只有两个点同时位于三个球上

），这两点关于平面 α 对称且这两点就是三个公共小圆的交点。把这两点也投影到平面 α 上，得证。二、四人旅行问题问题：平面上四条直线，任两条不平行，任三条不共点。四个旅行者 A、B、C、D 分别匀速地走在这四条直线上（他们的速度可以不相同）。若 A 在行走过程中与 B、C、D 相遇，B 在行走过程中与 C、D 相遇（当然也遇见了 A），求证：C、D 在行走过程中相遇。证明：为方便大家理解，答主画了个示意图如下：

作垂直于平面的直线作为时间轴，建立三维直角坐标系。由于四人均匀速行走，因此他们的路程-时间图像是线形的。我们可以在空间中作出 A、B、C、D 四个人行走路程与时间关系的图像并分别命名为 La、Lb、Lc、Ld。这样，我们可以从这四条空间直线中轻易判断某一时刻四人的位置。例如，空间中 P 点 (x, y, t)在直线 Lc 上，则表明在 t 时刻 C 走到了平面(x, y)位置。好，现在强了，真的强了。A、B 不是曾经相遇过吗？这就是说，La 和 Lb 相交。这两条相交直线可以确定一个平面。C 不是与 A、B 都相遇过吗？那就是说，Lc 与 La、Lb 都相交。于是，Lc 也在这个平面上。同样地，Ld 也在这个平面上。既然全部都共面了，Lc、Ld 必然会相交，即 C、D 必相遇。得证。

三、三角形对称问题问题：平面上任意三角形 ABC 和异于 A、B、C 三点的点 P。 X、Y、Z 三点分别是 P 点关于三边 BC、AC、AB 的中点的对称点。求证：AX、BY、CZ 共点。证明：

考虑空间中一点 P' 使 PP' 垂直于平面 ABC。作出 X'、Y'、Z' 关于三边 BC、AC、AB 的中点对称。可以得到，点 A、B、C、P'、X'、 Y'、Z' 是一个平行六面体的顶点。AX'、BY'、CZ' 是三条体对角线，他们显然共点。这个证到了有什么用呢？把这几个带了一撇的点全部投影到平面 ABC 上，结论就证到了。

出处：Matrix67博客2006年1月的“积灰”文章

几个把平面几何问题的辅助线做到空间去的数学趣题

ps: 终于体会到了什么叫收藏比赞数多，大家既然坚持到底了就点个赞吧！(^o^)/