数学的本质和意义是什么？

这个问题，莘莘学子当琢磨，理工学者须吃透。先给出我的答案，然后逐一解释，最后警惕走火入魔，共有七个标题。

数学的本质是——抽象思维，表现为三个方面：①代数抽象或统计方法、②几何抽象或微积分方法、③拓扑抽象或符号方法。

数学的意义是——应用工具，表现为三个方面：①作为逻辑思维的工具、②作为物理表达的工具、③作为设计制造的工具。

代数抽象，是统计思维的精髓统计抽象，即不考虑样本个性差异，只考虑样本的共性特征，对样本进行统计操作，包括：统计总量、统计分组、统计分析、统计图表。

某类事物的存在形式是千差万别的，但他们的共性：都是相对独立的个体、个数、单位1。

看看：1个男人+1个女人=2个人；1个狗+1个猫=2个宠物；1个大黑狗+1个小花狗=2个狗；1个圣人君子+1个流浪狗=2个哺乳动物...

再看：1个电子+1个质子=2个粒子；1个地球+1个太阳=2个天体；1个伽玛线光子+1个红外线光子=2个光子...

显然：若干个单位1，就是“数”。毕达哥拉斯说“万象皆数”，统计是最基本的数学逻辑。

然而，形式逻辑≠数学逻辑，唯象思维≠数学思维，抽象事物并不存在。

悖论：白马非马，因为抽象的马不存在，没有个性的马不存在。

几何抽象，是微积分思维的精髓微积分抽象：即把自然的曲线元素，变成人造的直线元素，把自然的漩涡元素，变成人造的圆弧元素。

物体的结构，都是不规则的椭球。植物的花粉与种子，动物的精子与卵子，微生物的孢子与泡囊，无机界的沙子与晶胞，太空中的尘埃与星体，可以做“球模型”的几何抽象。

物体的运动，都是不规则的流线。自然界不存在直线运动。指纹、年轮、神经、蛛网、海螺、河道、湍流、云涌......皆无纯几何轨迹。

然而，在这些缭乱走向中：当你截取相当小片段，它们就是一段圆弧；当你截取足够小片段，它们就成了一节直线。

无论多么杂乱无序的缭绕，都可以因为“片段→差分→微分”之几何抽象手术，变成极简的线与弧，变得规规矩矩而听由处置。这就是几何抽象的神奇魅力。

拓扑抽象，是符号思维的精髓拓扑学或形势分析论，研究几何空间在连续改变形状后还能保持不变的共性或抽象性，通俗的讲，研究“万变不离其宗”。

拓扑抽象的主要指标有：连通性、紧致性/仿紧性、定向性、一致性、分离性。例如：就连通性：球面=平面≠环面；就定向性：曲面=平面≠莫比乌斯曲面/非定向性。

笔者的符号，是广义的形势，诸如模拟图形、表现形式、空间结构、流形样式。

拓扑抽象，在高科技充当重要角色，如：计算机图形学、超导超流技术、机器人仿生。详细资料请搜关键词＃拓扑学＃。

过分抽象，导致数学唯心主义抽象，只是一种理念、范畴、智慧、技巧、工具、方式、方法，只能用来统计与模拟，不能强加于自然界的具体事物，不可过度消费抽象工具，否则会走向数学唯心主义的旁门左道。

现代物理学，大刮数学风，过度使用广义拓扑理念创造物理模型。例如：宇宙爆胀论、有界无限论、粒子零维论、纠缠超距论、平行宇宙论、高维弦理论，都不免有点走火入魔。

数学充当逻辑思维的工具表现在数理逻辑，如几何证明、代数操作、逻辑运算、数学分析、数据结构、逻辑电路方面。

数学充当物理表达的工具尤其表现在物理实验（包括化学实验）的定量分析、建立变量关系的解析式/公式/方程上。如果没有数学表达式，科研与八卦无异。

数学充当应用技术的工具人类一切物质技术装备的设计与制造，都离不开数学工具与数学方法的支持。可以说，数学是技术的灵魂，尤其是超精细与高尖端的结构与程序设计更需要高级数学工具的支持。

物理新视野，旨在建设性新思维，共同切磋物理/逻辑/双语的疑难问题。