请举出导数在高中数学中的应用的例子.
导数就是原函数图像在这一点切线的斜率，
f '(3) 即 f(x) 在x=3 处的斜率 k，
当导数值为零时原函数有可能取到极值（极大值或极小值），
导数值大于零，函数为增，反之为减，
导数广泛应用于高次函数求最值，求单调性，
高中数学-导数
1。 导数（导函数的简称）的定义：设 是函数 定义域的一点，如果自变量 在 处有增量 ，则函数值 也引起相应的增量 ；比值 称为函数 在点 到 之间的平均变化率；如果极限 存在，则称函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在 处的导数，记作 或 ，即 = 。
注：① 是增量，我们也称为“改变量”，因为 可正，可负，但不为零。
②以知函数 定义域为 ， 的定义域为 ，则 与 关系为 。
2。 函数 在点 处连续与点 处可导的关系：
⑴函数 在点 处连续是 在点 处可导的必要不充分条件。
可以证明，如果 在点 处可导，那么 点 处连续。
事实上，令 ，则 相当于 。
于是
⑵如果 点 处连续，那么 在点 处可导，是不成立的。
例： 在点 处连续，但在点 处不可导，因为 ，当 ＞0时， ；当 ＜0时， ，故 不存在。
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数。
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数。
3。 导数的几何意义：
函数 在点 处的导数的几何意义就是曲线 在点 处的切线的斜率，也就是说，曲线 在点P 处的切线的斜率是 ，切线方程为
4。 求导数的四则运算法则：
（ 为常数）
注：① 必须是可导函数。
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。
例如：设 ， ，则 在 处均不可导，但它们和
在 处均可导。
5。 复合函数的求导法则： 或
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形。
6。 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数 在某个区间内可导，如果 ＞0，则 为增函数；如果 ＜0，则 为减函数。
⑵常数的判定方法；
如果函数 在区间 内恒有 =0，则 为常数。
注：① 是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如 在 上并不是都有 ，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样 是f（x）递减的充分非必要条件。
②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的。
7。 极值的判别方法：（极值是在 附近所有的点，都有 ＜ ，则 是函数 的极大值，极小值同理）
当函数 在点 处连续时，
①如果在 附近的左侧 ＞0，右侧 ＜0，那么 是极大值；
②如果在 附近的左侧 ＜0，右侧 ＞0，那么 是极小值。
也就是说 是极值点的充分条件是 点两侧导数异号，而不是 =0①。 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②。 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）。
注①： 若点 是可导函数 的极值点，则 =0。
但反过来不一定成立。 对于可导函数，其一点 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零。
例如：函数 ， 使 =0，但 不是极值点。
②例如：函数 ，在点 处不可导，但点 是函数的极小值点。
8。 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较。
注：函数的极值点一定有意义。
9。 几种常见的函数导数：
I。 （ 为常数）
（ ）
II。
III。
求导的常见方法：
①常用结论： 。
②形如 或 两边同取自然对数，可转化求代数和形式。
③无理函数或形如 这类函数，如 取自然对数之后可变形为 ，对两边求导可得 。
例题: 函数 ，在曲线 上的点 处的切线方程为y=3x+1．
（1）若 时有极值，求 的表达式；
（2）在（1）的条件下，若对于任意 都有 成立, 求实数 的取值范围；
（3）若函数 在区间[－2，1]上单调递增，求b的取值范围。
。
