数学教学中如何引入导数
数学作为一种文化现象历来受到人们的重视,但数学文化作为一种特殊的文化形态,直到20 世纪下半叶才由美国著名的数学史学家倪莱因在其3本力作《西方文化中的数学》、《古今数学思想》 和《数学——确定性的丧失》中从人类文化发展史的角度进行了比较系统而深刻的阐述[1]。伽利略曾说:数学是上帝用来书写宇宙的文字。现在也有数学家说:数学是看不见的文化。的确,数学作为一种文化,它的产生和发展伴随着人类文明的进程,并在其中起着极其重要的推动作用,占有举足轻重的地位。同样在我们的教育中,数学文化的地位也是举足轻重的,“以提高学生素质,特别是提高民族素质为最终目的的数学教育,从根本上来说应该是数学文化教育”[2]。这就要求数学教育工作者在教育教学中,应该注重渗透数学文化的思想,体现其教育价值。因此,在高等数学课堂教学中,教师应从具体的数学概念、原理、定理的讲授,数学思想、数学方法的传授中揭示数学的文化底蕴,从多个侧面多个角度向学生展现数学文化,从而用数学精神、原则、思想提升学生的文化素养。文章结合自身的教学实践,浅谈一点在导数概念引入的教学中进行数学文化教育的体会。
1揭示数学概念的历史文化背景,感受数学的求真探索精神
数学概念来源于生活实践,在我们生活会遇到许多问题,这些问题的解决促使了很多概念的产生,当人们遇到用现有的概念、方法不能解决的问题时就会创立新的概念、方法和理论。导数的概念,就是在解决变速直线运动的瞬时速度和曲线切线的问题时产生的,从而导致了微积分理论的创立,开创了数学史上的新纪元,因此导数概念有着十分丰富的实际背景。在引入导数概念的教学中,教师应向学生介绍其产生的历史文化背景,介绍创立微积分的数学家——牛顿与莱布尼茨的故事与贡献。用数学家们的求真精神、探索精神激发学生的求知欲,增强他们学习数学的兴趣;用数学家的思想方法去引导学生的思考,提高学生解决实际问题的能力;从而提高学生的数学素质。
在导数概念的引入时,教师可以按如下步骤进行:
第一步教师向学生展示促使微积分产生的四大类问题,即:第一类问题是研究物体运动的时候出现的,也就是求瞬时时速度的问题,第二类问题是求曲线的切线的问题,第三类问题是求函数的最大值和最小值问题,第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力问题。
第二步教师向学生介绍这四个问题是17世纪科学家们遇到的问题,十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,从而使上述四个问题得到了解决。牛顿创立的导数当时叫流数,侧重于运动学来考虑,莱布尼茨侧重于几何学来考虑。同时并用多媒体向学生介绍牛顿与莱布尼茨的贡献。
第三步教师向学生提问:现在用我们所学的知识能解决哪几个问题?
第四步教师引导学生重现问题解决的方法与过程:引入教材中的两个引例。下面通过变速直线运动瞬时速度的求解这个例子来探讨具体的课堂教学过程:
1、首先向学生提问匀速直线运动的速度怎么求?(学生回答:速度等于路程除以时间)
2、再向学生展示变速运动示意图,如图(1)所示,让学生计算从到这段时间内物体的路程Δs=s(t)-s(t0),所用时间为Δt=t-t0。
3、再向学生提问平均速度怎么求?(学生回答)从而得到Δt=t-t0时间内的平均速度v=ΔsΔt=s(t)-s(t0)t-t0。
图(1)
4、教师向学生提问:下面我们如何得到t0时刻的瞬时速度?教师引导学生思考:如果时刻t与时刻t0间隔越短,Δt=t-t0这段时间内的平均速度就会越接近时刻的瞬时速度。
5、引导学生分析得v(t0)=limΔt→t0ΔsΔt=limΔt→t0s(t)-s(t0)t-t0
第五步教师用同样的方法引入曲线切线的求解过程
第六步教师问学生用该方法还可以解决哪些问题?(学生回答:角速度,加速度等)
通过以上教学活动,一方面让学生体会数学知识对实际问题解决的巨大力量,同时也让学生感受到数学家的探索创新精神和数学的人文精神,有利于提高学生的数学素质和人文素养。另一方面,通过例子中由平均速度变到瞬时速度,由割线斜率变到切线斜率,让学生体会到了事物无限变化的趋势,即从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变认识质变的辩证唯物主义思想。
3展现从具体到抽象归纳概括的数学方法,培养抽象逻辑思维能力
有了第一阶段引例的铺垫,教师可引导学生抽象出两例中的共同特征是所求问题的最终结果都是要求一个极限,即:函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋于零时的极限,这个极限就是所说的导数,从而得出导数的概念。
教师可以再举一个具体确定函数的例子来进行应用,如求函数在点处的切线,反过来应用导数求解具体的问题。这样教学过程就完成了从具体到抽象,又从抽象到具体的过程,培养学生的抽象逻辑思维能力及解决实际问题的能力。
