高中数学教学中如何利用函数的单调性求最值

例1】判断下列各式,哪个能确定y是x的函数?为什么?(1)x2＋y＝1 (2)x＋y2＝1 解 (1)由x2＋y＝1得y＝1－x2,它能确定y是x的函数． 于任意的x∈{x|x≤1},其函数值不是唯一的． 【例2】下列各组式是否表示同一个函数,为什么?解 (1)中两式的定义域部是R,对应法则相同,故两式为相同函数． (2)、(3)中两式子的定义域不同,故两式表示的是不同函数． (4)中两式的定义域都是－1≤x≤1,对应法则也相同,故两式子是相同函数． 【例3】求下列函数的定义域：【例4】已知函数f(x)的定义域是[0,1],求下列函数的定义域：求实数a的取值范围． 为所求a的取值范围． 【例6】求下列函数的值域：(1)y＝－5x2＋1 (3)y＝x2－5x＋6,x∈[－1,1) (4)y＝x2－5x＋6,x∈[－1,3] (9)y＝|x－2|－|x＋1| 解 (1)∵x∈R,∴－5x2＋1≤1,值域y≤1． (6)定义域为R 定义域x≠1且x≠2 (y－4)x2－3(y－4)x＋(2y－5)＝0 ① 当y－4≠0时,∵方程①有实根,∴Δ≥0,即9(y－4)2－4(y－4)(2y－5)≥0 化简得y2－20y＋64≥0,得 y＜4或y≥16 当y＝4时,①式不成立． 故值域为y＜4或y≥16． 函数y在t≥0时为增函数(见图2．2－3)． 去掉绝对值符号,其图像如图2．2－4所示． 由图2．2－4可得值域y∈[－3,3]． 说明 求函数值域的方法：1°观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等．(如例1,2) 2°求二次函数在指定区间的值域(最值)问题,常用配方,借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理．假如求函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0),在给定区间[m,n]的值域(或最值),分三种情况考虑：(如例5)可做公式用． 法求y的范围(如例6－7)． 为二次函数求值域．但要注意中间量t的范围(如例6－8)． 6°分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来．利用有界变量的范围,求函数y的值域(如例6－6)． 7°图像法(如例6－9)：由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻,它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解． 解 (2)∵f(－7)＝10,∴f[f(－7)]＝f(10)＝100． 说明 本例较简单,但主要用意是深刻理解函数符号f(x)的意义．求分段函数值时,要注意在定义域内进行． 【例8】根据已知条件,求函数表达式． (1)已知f(x)＝3x2－1,求①f(x－1),②f(x2)． (2)已知f(x)＝3x2＋1,g(x)＝2x－1,求f[g(x)]． 求f(x)． (4)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2,f(x＋1)－f(x)＝x－1,求f(x)． (5)设周长为a(a＞0)的等腰三角形,其腰长为x,底边长为y,试将y表示为x的函数,并求它的定义域和值域． (1)分析：本题相当于x＝x－1时的函数值,用代入法可求得函数表达式． 解 ∵f(x)＝3x2－1 ∴f(x－1)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2 f(x2)＝3(x2)2－1＝3x4－1 (2)分析：函数f[g(x)]表示将函数f(x)中的x用g(x)来代替而得到的解析式,∴仍用代入法求解． 解 由已知得f[g(x)]＝3(2x－1)2＋1＝12x2－12x＋4 法(或观察法)． ∴x＝(t＋1)2代入原式有f(t)＝(t＋1)2－6(t＋1)－7 ＝t2－4t－12 (t≥－1) 即f(x)＝x2－4x－12 (x≥－1) 说明 解法二是用的换元法．注意两种方法都涉及到中间量的问题,必须要确定中间量的范围,要熟练掌握换元法． (4)分析：本题已给出函数的基本特征,即二次函数,可采用待定系数法求解． 解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) 由f(0)＝2,得c＝2．由f(x＋1)－f(x)＝x－1,得恒等式2ax＋ 说明 待定系数是重要的数学方法,应熟练掌握． ∵2x＋y＝a,∴y＝a－2x为所求函数式． ∵三角形任意两边之和大于第三边,∴得2x＋2x＞a,又∵y＞0,说明 求实际问题函数表达式,重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式,其定义域与值域,要考虑实际问题的意义．