中外数学家们是如何用数学知识造福于人类的
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欧拉并没有发明三角函数,他是三角函数符号的推广者.
1464,德国人用sine表示正弦.
1620英国人根日耳用cosine表示余弦.
1640,丹麦人用tangent表示正切,secant表示正割.
1596哥白尼的学生用coscant表示余切.
1623德国人首先提出用sin简写正弦,tan简写正切,sec简写正割.
1975英国人提出把余弦,余切,余割简写为cos,cot,csc.
欧拉并没有发明三角函数,他是三角函数符号的推广者,在他的推广下,人们开始使用三角函数.
证明过程详见高中数学必修四.
一、实际。
某天小明和小刚在山上玩,有棵树吸引了他们,于是小明和小刚二人打算测量出这棵树的高度,于是他们拿来了一系列的测量工具。
小明说:“以树的底部为A,底部为B,在平地上选取一点O,亮出AO与BO的距离,测量AO与地面形成的角α,BO与地面形成的角β。则得出树高为:sinβ×BO—sinα×AO。”
我说:“你的方法麻烦了,而且这颗树离地面好远。我打算把树的周围弄成平地,选取一点O,以树的底部为A,底部为B,测量出∠AOB和BO的距离,则树高为sin∠AOB×BO”
二、理论。
【例题】如图,已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30 m,由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层,每层高度为3 m.假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h,太阳光线与水平线的夹角为α。
(1) 用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围);
(2) 当α=30°时,甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层?若α每小时增加15°,从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光?
解:(1)过点E作EF⊥AB于F,由题意,四边形ACEF为矩形。
∴EF=AC=30,AF=CE=h, ∠BEF=α,∴BF=3×10-h=30-h。
又 在Rt△BEF中,tan∠BEF=BFEF ,
∴tanα= ,即30 - h=30tanα. ∴h=30-30tanα。
(2)当α=30°时,h=30-30tan30°=30-30× ≈12.7,
∵ 12.7÷3≈4.2, ∴ B点的影子落在乙楼的第五层。
当B点的影子落在C处时,甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.
此时,由AB=AC=30,知△ABC是等腰直角三角形。
∴∠ACB=45°, 7分
∴ 45-30/15 = 1(小时).
故经过1小时后,甲楼的影子刚好不影响乙楼采光