数学到底有多重要？

数学除了可以进行科学研究，也能让普通人明白生活中一些常见问题的原因。在这里我举两个看似与数学不相关的例子：天气预报和医疗诊断。通过数学的分析你会知道：天气误报、医院误诊，不能完全怪气象台和医院，有时候这是个数学问题。

天气预报许多人说，现在科学这么发达，为什么天气预报总不准呢？这里涉及一个数学问题，称为条件概率。

什么是条件概率呢？

比如我们要确定6月15日是不是下雨，根据往年经验，下雨的概率有40%，不下雨的概率为60%，这就称为概率。如果在前一天，天气预报6月15日下雨，这就称为条件， 在这种条件下6月15日真正下雨的概率就称为条件概率。

天气预报根据一定的气象参数确定是否可能下雨，由于天气琢磨不定，即便预报下雨，也有可能是晴天。假如天气预报的准确率为90%，即在下雨的情况下，有90%的可能预报下雨，有10%的可能预报不下雨；同样在不下雨的情况下，有10%的概率预报下雨，有90%的概率是预报不下雨。

这样一来，6月15日的预报和天气就有四种可能：预报下雨且真的下雨，预报不下雨但是下雨，天气预报下雨但是不下雨，预报不下雨且真的不下雨。我们把四种情况列在下面的表格中，并计算相应的概率。

计算方法就是两个概率的乘积。例如下雨概率40%，下雨时预报下雨的概率为90%，因此预报下雨且下雨这种情况占四种情况的概率为36%。同样我们可以计算出天气预报下雨但是不下雨的概率为6%，二者之和为42%，这就是天气预报下雨的概率。

在这42%的可能性中，真正下雨占36%的可能，比例为

而不下雨的概率为6%，占

也就是说，在天气预报准确率为90%的情况下，预报下雨且真正下雨的概率只有85.7%。我们会发现，预报下雨时是否真的下雨，不光与预报的准确度有关，同时也与这个地区平时下雨的概率有关。

医疗检查与这个问题类似的是在医院进行重大疾病检查时，如果医生发现异常，一般不会直接断定生病了，而是建议他去大医院再检查一次，虽然这两次检查可能完全是一样的。为什么样这样呢？

我们假设有一种重大疾病，患病人群占总人群的比例为1/7000。也就是说，随即选取一个人，有1/7000的概率患有这种疾病，有6999/7000的概率没有患这种疾病。

有一种先进的检测方法，误诊率只有万分之一，也就是说，患病的人有1/10000的可能性误诊为健康人，健康人也有1/10000的可能性被误诊为患病。

我们要问：在一次检查得到患病结果的前提下，这个人真正患病的概率有多大？

我们仿照刚才的做法，检测出患病的总概率为

而患病且检测出患病的概率为

所以在检测患病的情况下，真正患病的概率为：

显而易见，即便是万分之一误诊的情况，一次检测也不能完全确定这个人是否患病。

那么，两次检测都是患病，情况又如何呢？

大家要注意，在第一次检测结果为患病的前提下，此人患病的概率已经不再是所有人群的1/7000，而变为了自己的58.8%，健康的概率只有41.2%，所以第二次检测的表格变为：

在两次检测都是患病的情况下，此人真正患病的概率为：

基本没跑了。

对这个问题进行详细讨论的人是英国数学家贝叶斯。

贝叶斯指出： 如果A和B是两个相关的事件。A有发生和不发生两种可能，B有B1，B2，…，Bn共n种可能。那么在A发生的前提下Bi发生的概率称为条件概率P（Bi|A)。

要计算这个概率，首先要计算在Bi发生的条件下A发生的概率，公式为P(Bi)P(A|Bi)。

然后，需要计算事件A发生的总概率，方法是在用每种Bi情况发生的概率与相应情况下A发生的概率相乘，再将乘积相加。

最后，用上述两个概率相除。完整的贝叶斯公式就是：

贝叶斯公式在社会学、统计学、医学等领域，都发挥着巨大的作用。