人教版数学必修2优秀教案
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2.3.2平面与平面垂直的判定
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．两个平面垂直的定义、画法．
2．两个平面垂直的判定定理．
(二)能力训练点
1．应用演绎的数学方法理解并掌握两个平面垂直的定义．
2．掌握两个平面垂直的判定定理的证明过程，培养学生严格的逻辑推理，增强学生分析、解决问题的能力．
3．利用转化的方法掌握和应用两个平面垂直的判定定理．
(三)德育渗透点
1．理解并掌握两个平面垂直定义的过程是培养学生从一般到特殊的思维方法的过程．
2．让学生认识到掌握两个平面垂直的判定定理是人类生产实践的需要，并且应用于实践，进一步培养学生理论与实践相结合的观点．
二、教学重点、难点
1．教学重点：掌握两个平面垂直的判定．
2．教学难点：掌握两个平面垂直的判定及应用．
三、教与学的过程设计
(一) 介绍二面角的有关知识
1．二面角的定义及相关概念
师：我们知道，两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交．两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫生时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度（图看课本P．39中图1—43），等等．这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角”叫二面角，那么如何定义二面角呢？阅读课本P．39—40，回答下列问题．
师：我们先来回忆：什么是角？如何表示？
生：从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图1—117），表示为∠AOB．
师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角．先给出半平面的定义．
生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面（如图1—119）．
师：那么如何表示二面角呢？
生：棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，则记作二面角α—a—β．
师：二面角的画法通常有哪几种？
生：第一种是卧式法，也称为平卧式（如图1－120）．
第二种是立式法，也称为直立式．
2．二面角的平面角的定义
师：为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要研究二面角的大小问题．如门和墙所在的平面是相交的，但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上，也就是说两平面虽处于相交的位置关系，但相互之间的位置关系还是应当讨论的．为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义．
定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
师：二面角的大小可以用它的平面角来度量，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．现在我们来思考：
问题1：这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理？为什么？
生：是合理的．
如图1—121，在二面角α—a—β的棱a上任取一点O，在半平面α和β内，从点O分别作垂直于棱a的射线OA、OB，射线OA和OB组成∠AOB，在棱上另取任意一点O’，按同样的方法作∠A’O’B’，因为OA和OA’、OB和OB’都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A’O’B’的两边分别平行且方向相同，根据等角定理，得：∠AOB＝∠A’O’B’，即∠AOB的大小是一定的．由于这个唯一性，从而说明这样定义二面角的平面角是合理的，且与点O在棱上的位置无关．
问题2：二面角的平面角必须满足哪几个条件？
生：两个条件．一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．
师：平面角是直角的二面角叫直二面角．
在实际生活中，木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个角所成二面角的平面角（图见P．40中图1—45）．我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5°，就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68.5°
3．两个平面垂直的定义、画法
师：两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况，日常我们见到的墙面和地面、以及一个长方体中，相邻的两个面都是互相垂直的．那么，什么是两个平面互相垂直呢？
生：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
师：回答得很好．这个定义与平面几何里的两条直线互相垂直的定义相类似，也是用它们所成的角是直角来定义．知道了两个平面互相垂直的概念．如何画它们呢？
生：如图1-128，把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直．记作α⊥β．
练习：(P.45中练习1)
画互相垂直的两个平面、两两垂直的三个平面．
如图1-129．
（二）两个平面垂直的判定
师：判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理．
两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
师：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上就是依据这个原理．另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．
（三）初步运用，提高能力
例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC⊥PBC平面
证明：（略）见课本P.72
练习：P.73练习1、2
（四）归纳小结，强化思想
本节课我们讲解了两个平面垂直的定义、画法及判定方法．判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．如何应用两个平面垂直的判定定理，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节课学习的关键．
（五）布置作业
P.77习题2.3A组第4题．B组第1题
（六）教学反思
