二次函数知识点

two
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2
hxay；④
khxay2
；⑤cbxaxy2.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy44222
2



，∴顶点是），（a
bacab4422
，对称轴是直线abx2.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2
的形式，得到顶点为(h,k)，
对称轴是直线hx.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分
线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线cbxaxy2
中，cba,,的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与2
axy中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2
的对称轴是直线
a
b
x2
，故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；
③
0a
b
（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. （3）c的大小决定抛物线cbxaxy2
与y轴交点的位置.
当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2
与y轴有且只有一个交点（0，c）：
①0c，抛物线经过原点; ②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.
three
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0a
b
. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式
开口方向 对称轴
顶点坐标
2axy
当0a时 开口向上 当0a时
开口向下
0x（y轴） （0,0） kaxy2

0x（y轴） (0, k) 2
hxay
hx (h,0) khxay2

hx
(h,k)
cbxaxy2

a
bx2
 (a
bacab4422
，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：cbxaxy2
.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 12.直线与抛物线的交点
（1）y轴与抛物线cbxaxy2
得交点为(0, c).
（2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2
有且只有一个交点(h,cbhah2).
（3）抛物线与x轴的交点
二次函数cbxaxy2
的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程
02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定：
①有两个交点0抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵
坐标为k，则横坐标是kcbxax2
的两个实数根.
four
（5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方
程组
c
bxaxynkxy2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②
方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.
（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，
由于1x、2x是方程02
cbxax的两个根，故
a
c
xxabxx
2121,

aaacbac
abxxxxxxxxAB


44422
212
212
2121