数学圆的定理、推论
初中：
1不在同一直线上的三点确定一个圆。
2垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
4圆是定点的距离等于定长的点的集合
5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
7同圆或等圆的半径相等
8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半
径的圆
9定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等
10推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
11定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它
的内对角
12①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
13切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
14切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
17切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
18圆的外切四边形的两组对边的和相等
19弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
20推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
30相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积
相等
31推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
32切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
33推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
35①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
36定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
37定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
38定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
39正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
40定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
41正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
42正三角形面积√3a／4 a表示边长
43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
44弧长计算公式：L=n兀R／180
45扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
46内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
47定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
对的弦是直径
50正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
51余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
52圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
53圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
54弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 1不在同一直线上的三点确定一个圆。
2垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
4圆是定点的距离等于定长的点的集合
5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
7同圆或等圆的半径相等
8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半
径的圆
9定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等
10推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
11定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它
的内对角
12①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
13切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
14切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
17切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
18圆的外切四边形的两组对边的和相等
19弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
20推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
30相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积
相等
31推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
32切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
33推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
35①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
36定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
37定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
38定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
39正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
40定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
41正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
42正三角形面积√3a／4 a表示边长
43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
44弧长计算公式：L=n兀R／180
45扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
46内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
47定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
对的弦是直径
50正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
51余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
52圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
53圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
54弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
高中：
一、有关圆周角和圆心角的性质和定理：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
二、有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）
④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）
⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
三、如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
四、圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
五、圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
六、弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
七、圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
八、圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
九、有关切线的性质和定理
圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。
附：〖有关圆的计算公式〗
1.圆的周长C=2πr=πd
2.圆的面积S=πr^2;
3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长
5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长)
