初三数学所有圆的定律

圆的直径连接两头（一端在圆上，一端在直径上） 这个角是直角 这叫垂径定理 圆周角定理 是 多少 ——乘圆面积或周长=这个扇行的面积或那条弧 360 别的我就不知道了 ．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合． 2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距． 圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理） 切线长定理 垂径定理 圆周角定理 弦切角定理 四圆定理 3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合． 7.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 9.圆的两条平行弦所夹的弧相等 10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. (3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. (4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. (2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. (3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦. (5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. (6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等. 12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴． 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧. 14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等. 15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等. 16.同一个弧有无数个相对的圆周角. 17.弧的比等于弧所对的圆心角的比. 18.圆的内接四边形的对角互补或相等. 19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆. 20.直径是圆中最长的弦. 21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧. 补充：九点共圆定理 三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这9点共圆. 九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788-1867〕.也有说是1820-1821年间由法国数学家热而工〔1771-1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆. 九点圆具有许多有趣的性质,例如: 1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; 3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕. 4.九点圆是一个垂心组共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆,十二个旁切圆相切. 5.九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线且OG=2VG VO=2HO 九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。 事先定义的变量与垂心、外心一样： d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘（句子很长^_^）。 c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。 重心坐标：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。

弦切角定理 弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角定理就是弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，一半弧所对的圆心角如图：TC为圆O切线，∠BTC=∠BAT弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。弦切角定理的证明：做过切点的直径，连接弦和这条直径的另一端，先说明直径所对的圆周角是直角，然后直径和弦所在的直角三角形的两个锐角就互补，然后过切点的直径垂直于切线，弦和切线把这个直角分成两部分，其中有一个是上面那个直角三角形的一个锐角，然后用等式性质减去重复的部分，剩下的就是弦切角和所夹的弧所对的圆周角相等了。圆幂定理圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD。 统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。进一步升华（推论）：过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。（这就是“圆幂”的由来）密克定理（三圆定理+完全四线形定理+四圆定理+五圆定理） 密克定理是几何学中关於相交圆的定理。1838年，奥古斯特·密克叙述并证明了数条相关定理。许多有用的定理可由其推出。三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交於一点O，而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点。设A为C1的点，直线MA交C2於B，直线PA交C3於C。那麼B, N, C这三点共线。逆定理：如果是三角形，M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上，那麼三角形, , 的外接圆交於一点O。完全四线形定理：如果ABCDEF是完全四线形，那麼三角形, , , 的外接圆交於一点 O，称为密克点。四圆定理：设C1, C2,C3, C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，A2和B2是C2 和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点，A4和B4是C1和C4的交点。那麼A1, A2, A3, A4四点共圆当且仅当B1, B2, B3, B4四点共圆。五圆定理：设ABCDE为任意五边形，五点F, G, H, I, J分别是EA和BC , AB和CD, BC和DE, CD和EA, DE和AB的交点，那麼三角形, , , , 的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，而且穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心。逆定理：设C1,, C2, C3, C4, C5五个圆的圆心都在圆C上，相邻的圆交於C上，那麼把它们不在C上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交於这五个圆上。