怎样全面归纳二次函数的性质
1。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2。抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3。二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4。一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时
（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右。
事实上,b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的
斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
5。常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0,c）
6。
抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ= b^2-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数,乘上
虚数i,整个式子除以2a）
当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2 c(a≠0)
7。
特殊值的形式
①当x=1时 y=a b c
②当x=-1时 y=a-b c
③当x=2时 y=4a 2b c
④当x=-2时 y=4a-2b c
8。
定义域：R
值域：（对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a,
正无穷）；②[t,正无穷）
奇偶性：偶函数
周期性：无
解析式：
①y=ax^2 bx c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0,则抛物线开口朝上；a＜0,则抛物线开口朝下；
⑶极值点：（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0,图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b √Δ]/2a,0）；
Δ＝0,图象与x轴交于一点：
（-b/2a,0）；
Δ＜0,图象与x轴无交点；
②y=a(x-h)^2 k[顶点式]
此时,对应极值点为（h,k）,其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）
对称轴X=(X1 X2)/2 当a>0 且X≥(X1 X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≤（X1 X2）/2时Y随X
的增大而减小
此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连
用）。
[编辑本段]二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数（以下称函数）y=ax^2 bx c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,
即ax^2 bx c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2;,y=a(x-h)^2;,y=a(x-h)^2 k,y=ax^2 bx c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式 顶点坐标 对 称 轴
y=ax^2 (0,0) x=0
y=ax^2 K (0,K) x=0
y=a(x-h)^2 (h,0) x=h
y=a(x-h)^2 k (h,k) x=h
y=ax^2 bx c (-b/2a,4ac-b^2/4a) x=-b/2a
当h>0时,y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到,
当h0,k>0时,将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 k的图象；
当h>0,k。
