九年级下册关于圆的的知识

（修改版）圆的直径连接两头（一端在圆上，一端在直径上） 这个角是直角 这叫垂径定理 圆周角定理 是 多少 ――乘圆面积或周长=这个扇行的面积或那条弧 360 别的我就不知道了 ．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合． 2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距． 圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理） 切线长定理 垂径定理 圆周角定理 弦切角定理 四圆定理 3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合． 7.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 9.圆的两条平行弦所夹的弧相等 10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. (3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. (4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. (2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. (3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦. (5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. (6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等. 12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴． 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧. 14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等. 15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等. 16.同一个弧有无数个相对的圆周角. 17.弧的比等于弧所对的圆心角的比. 18.圆的内接四边形的对角互补或相等. 19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆. 20.直径是圆中最长的弦. 21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧. 〖圆的定义〗 几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 〖圆的相关量〗 圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 〖圆和圆的相关量字母表示方法〗 圆―⊙ 半径―r 弧―⌒ 直径―d 扇形弧长／圆锥母线―l 周长―C 面积―S 〖圆和其他图形的位置关系〗 圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。 直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。 两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。 【圆的平面几何性质和定理】 〖有关圆的基本性质与定理〗 圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗 一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。 〖有关切线的性质和定理〗 圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。 切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。 〖有关圆的计算公式〗 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr² 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl 【圆的解析几何性质和定理】 〖圆的解析几何方程〗 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。 圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。 〖圆与直线的位置关系判断〗 平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果b^2-4ac