已知二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交于点（-2，0）、（x1，0）

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1. 函数y=f（x）通过 （-2，0）， f（-2）=4a-2b+c=0
2. 函数与x轴交于-2， x1 两点，与y正半轴相交，且交点x=0在-2，1之间，所以开口向下，a＜0
又对称轴x=-b/2a 在（-2+1）/2和（-2+2）/2之间 所以 -1/2＜-b/2a＜0 即 a＜b＜0
3. f（-2）=4a-2b+c=0
又函数开口向下， 1＜x1＜2， f（1）=a+b+c＞0 2a+2b+2c＞0 和上式联立得 2a+c＞0
4. 由于函数与y轴交于正半轴且在（0，2） 下方，f（0）=c＜2 c=2b-4a＜2 即 2a-b+1＞0
由以上可知正确结论个数四个由f（1）=a+b+c＞0 不等式两边同乘以2 得 2a+2b+2c＞0由f（-2）=4a-2b+c=0 得 c=2b-4a

2a+2b+2c＞0和4a-2b+c=0 两式相加即可得出 2a+c＞0

二次函数根与系数的关系

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根与系数的关系与二次函数
我们知道，若、为一元二次方程的两实根，则根与系数有下面的关系：，，这个关系不权在研究一元二次方程有关问题中起着重要的作用，而且在研究函数方面应用也很广泛，现分述如下：
一、二次函数图像与轴交点横坐标对称式值的问题
例1：（徐州市中考题）已知二次函数与轴两个交点为A（，0），B（，0），且满足，求此二次函数解析式。
解：由根与系数的关系可得：
即，解得或
当，函数为
△=1-4＜0，函数图像与轴无交点，应将m=2舍去，函数解析式为
二、二次函数图像与轴两交点之间的距离问题。
例2：（扬州市考题）已知二次函数
（1）求证：不论k取何值，这个函数的图像与轴总有两个交点。
（2）实数k为何值时，这两个交点之间的距离最小，并求这个最小距离。
简解：（1）只需证△＞0，过程从略。
（2）解：由根与系数的关系可得：，，
当k=2时，d有最小值，最小值为。
三、二次函数图像与轴两交点的相对位置问题
例3：（南京市中考题）如果抛物线与轴交于A、B两点，点A在轴的正半轴上，点B在轴的负半轴上，0A=a,0B=b,若a:b=3:1，求抛物线的解析式。
解：设A（,0）,B（,0）则＞0，＜0，0A=，0B=
∵a:b=3:1，可设b=k(k＞0)，则a=3k，=3k，=-k，由根与系数的关系得：