初三九年级下数学圆的概念
1.圆的定义
圆的定义有两个:
其一:平面上到定点 的距离等于定长的所有点所组成的图形叫圆。
其二:平面上一条线段,绕它固定的一个端点O旋转360°,它的另一端留下的轨迹叫圆。
2.圆的其他相关量
①圆心与半径:(如定义)固定的端点O即为圆心,用字母 来表示,记作⊙O;定义中的定长即为半径,用字母r表示;
②弦与直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆中最长的弦为直径;
③圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧;
④圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;
⑤等圆:能够重合的两个圆叫做等圆。
3.垂径定理及其推论
①定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
②推论(四条)
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧;
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧;
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。
4.圆心角与圆周角
(1)定义
①圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角;
②圆周角:顶点在圆上,且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
(2)定理及推论
①圆心角
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
推论一:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等;
推论二:在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等。
②圆周角
定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论一:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径;
推论二:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等;
推论三:圆内接四边形的对角互补。
5.点与圆的位置关系
(1)点和圆的位置关系
点和圆的位置关系相对较为简单,可分为三种情况:圆内、圆上和圆外。
一般情况下,判断点和圆的位置关系,以点到圆心的距离和圆半径之间的大小为依据,假设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则点P与⊙O的位置关系可表示如下:
点P 在⊙O 外 等价于d >r
点P 在⊙O 上 等价于d =r
点P 在⊙O 内 等价于d <r
(2)不在同一直线上的三个点确定一个圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。根据这一定理,我们可以经过任意三角形的三个顶点做一个圆,这个圆就叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做该三角形的外心。
(3)反证法
不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立。这种证明方法就叫做反证法。
6.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系可分为三种:相交、相切和相离,详述如下:
(1)相交
直线和圆有两个公共点,则直线与圆相交,这条直线叫做圆的割线。
(2)相切
直线和圆只有一个公共点,则直线与圆相切,该直线叫做圆的切线,该公共点叫做切点。
(3)相离
即直线和圆没有公共点。
假设⊙O 的半径为r ,直线l 到圆心O 的距离为d ,根据上述定义,可以得到:
直线l 和⊙O 相交 等价于d <r
直线l 和⊙O 相切 等价于d =r
直线l 和⊙O 相离 等价于d >r
7.关于切线的定理
(1)切线的定义
如果一条直线和圆只有一个公共点,那么这条直线和圆相切,直线就叫做圆的切线,公共点即为切点。
(2)切线判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(3)切线性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
(4)切线长
经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
(5)切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
8.三角形内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。另外还需知道一点,即三角形的内心到三角形三边的距离相等,也就是三角形内切圆半径。
9.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系主要可分为三种:相离、相切和相交,分述如下:
(1)相离
如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离;相离又分为外离和内含,两圆内含有一种特殊情况即两圆同心。
(2)相切
如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切;相切又可分为外切和内切。
(3)相交
两圆相交较为简单,即如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。
10.正多边形和圆
我们先来温习一下什么是正多边形――各边相等、各角也相等的多边形,我们称之为正多边形。
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
11.弧长和扇形的面积(一些特殊符号不好输入,只好截图了)
12.圆锥的侧面积
要学习圆锥的相关面积的计算,先要了解一个概念――圆锥的母线:我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。同一圆锥所有母线都相等。
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,可以得到,圆锥的侧面展开图是一个扇形,而母线即为该扇形的半径,圆锥底面圆的周长为圆锥侧面展开后的扇形对应的弧长。
在上一期已经学习了扇形的面积与弧长的关系,即 ,有了这一关系式,关于圆锥的的侧面积及全面积的一些列计算将迎刃而解。
1.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;围绕圆心旋转任意一个角度α,都能够与原来的重合. 2.顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心到弦的距离叫做弦心距. 圆幂定理(相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理) 切线长定理 垂径定理 圆周角定理 弦切角定理 四圆定理 3.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等. 4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 5.把整个圆周等分成360份,每一份弧是1°的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 6.圆是中心对称图形,即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合,这一性质不难理解.圆和其他中心对称图形不同,它还具有旋转不变性,即围绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合. 7.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧 8.(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 9.圆的两条平行弦所夹的弧相等 10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2)同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. (3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径. (4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 11.(1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. (2)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (4)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弦. (5)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. (6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等. 12.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧. 14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等. 15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等. 16.同一个弧有无数个相对的圆周角. 17.弧的比等于弧所对的圆心角的比. 18.圆的内接四边形的对角互补或相等. 19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆. 20.直径是圆中最长的弦. 21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧