量子力学中神奇的波函数究竟是怎么一回事？

施郁（复旦大学物理学系教授）

首先，要交代波函数是谁的波函数。通常是描述某个量子粒子的。波函数数学上是一个复数函数。作为一个函数，当然就有自变量。典型的自变量就是位置。所以现在可以看出来，这个波函数就是给每个位置一个复数。这个复数代表什么意思呢？它的大小的平方就是这个量子粒子处于这个位置的概率。 当然，将所有位置的概率加起来，就是1。

这个波函数不是随随便便的，它随时间的变化由一个叫做薛定谔方程的方程决定。也就是说，通常它是随时间变化的。这个时刻在各个位置是某种分布，到下个时刻就变成另一个分布，这是由这个粒子的哈密顿量决定的。

在某个波函数下，如果去测量粒子的位置，那么测到每个位置都有可能，测量之后波函数就变成在这个被测到的位置为1，在其他地方为0。如果重复很多次这样的测量，每次都处于同样的波函数。那么测到每个位置的次数的比例，就是波函数大小的平方。

[施郁原创]

在量子力学中，波函数是所有粒子存在的形式，无论是基本粒子还是复合粒子。波函数本身是一个复数，符合玻恩原理，即波函数在某一点的值的模平方，就是这一点发现这个粒子的概率，也就是说波函数的模平方就是粒子的概率分布。

波函数具有空间——动量，时间——能量的对偶分布，符合海森堡不确定原理。简单地说，就是在动量上是一个定值时（delta函数），在空间上就是非定域的全空间分布（即表现出波动性）。相对地，波函数在空间上是一个点时（即表现出粒子性），在动量上就是无限的分布。同理，波函数在时间和能量上的分布也有这个关系。在空间/时间上的最小分布决定了在动量/能量上的最小分布，反之亦然。

波函数之间符合态叠加原理，即可以形成量子叠加态。波函数本身就代表了量子叠加态，可以写作量子态在空间本征态（或动量本征态）上展开之后的系数（即在希尔伯特空间中做矢量分解）。在量子叠加态基础上，粒子波函数之间的相互作用可以进一步形成量子纠缠态，因此量子纠缠实质就是波函数的纠缠，量子纠缠跨越时空的非定域性其实就来自于波函数本身的非定域分布。

PS：我的头像就是氢原子中电子在不同能级的波函数的模平方，即电子的概率分布。