指数函数、对数函数、三角函数的量纲为1，其原理是什么？

在物理里面，只有同类的量才可以相加，比如：“1苹果+1鸭梨”是没有意义的。说：“1苹果=1鸭梨”也是没意义的。

但，“1水果+1水果=2水果”就有意义。

我们管1叫数字，苹果叫单位，[苹果]叫量纲。

量纲的英文是dimension，dimension有尺寸和维度的意思，比如x方向是表示前后的，y方向是表示左右的，它和x方向完全没有关系，这是另外一个维度。

维度的扩张和乘法有关，在物理中我们把乘法定义成这样：

1苹果 x 2鸭梨 = 2 苹果·鸭梨即数字和数字乘，单位和单位乘，所谓单位和单位乘就是把苹果和鸭梨并列，得到新的单位——“苹果·鸭梨”，苹果·鸭梨的量纲是：

[苹果·鸭梨] = [苹果] x [鸭梨]比如，在物理里面功W被定义为力F乘以位移l，功的单位是焦耳，功的量纲是：

[功] = [力] x [长度]那么，为什么e指数函数肯定没有量纲呢？

考虑e指数函数：

这里x只能是无量纲的，e指数函数也只能是无量纲的，否则就会造成e^x有不确定的量纲，而这是不可能的（对确定物理量而言，只能有确定的量纲）。

比如放射性的衰减公式：

我们可以发现，t和τ都是时间量纲，t/τ是无量纲的。

类似的，在物理公式中三角函数和对数函数也必须是无量纲的（证明的时候把这些函数展开成幂级数）。

比如，波函数：

中的相位：

就必须是无量纲的。

这个还要从最初的定义来说。

a^b (b∈N)表示b个a连乘，b当然不能有单位，你能说2kg个a相乘吗？这当然没有意义。推而广之，b的定义不断扩展，整数、有理数、实数。但最初的现实意义却没有变。于是说f(x)=a^x中x量纲为1。同理，对数函数量纲为1。

三角函数自变量本来就是一个角度，而角度的定义就是弧长与半径的比值，当然量纲是1。同样，反三角函数的自变量量纲也是1。

基本初等函数，除了幂函数（指数还要满足条件），其他的指数、对数、三角（反）函数的自变量都应该是量纲为1的。