对数函数的知识
一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log aN=b,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。一般地,函数y=log(a)X,(其中a是常数,a>0且a不等于1)叫做对数函数,它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN。另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828・・・为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把loge N 记为In N。在实数范围内,负数和零没有对数对数函数y=loga x 的定义域是{x 丨x>0},值域:实数集R,显然对数函数无界。定点:函数图像恒过定点(1,0)。单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸对数的图像00,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。
其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),即x>0。它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。
有理和无理指数
如果 是正整数, 表示等于 的 个因子的加减:
但是,如果是 不等于1的正实数,这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数 (参见幂)。类似的,对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数 ,有一个对数函数和一个指数函数,它们互为反函数。
对数可以简化乘法运算为加法,除法为减法,幂运算为乘法,根运算为除法。所以,在发明电子计算机之前,对数对进行冗长的数值运算是很有用的,它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。
复对数
复对数计算公式
复数的自然对数,实部等于复数的模的自然对数,虚部等于复数的辐角。
对数的运算性质
当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:
(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)
(4)log(a^n)(M)=(1/n)log(a)(M)(n∈R)
(5)换底公式:log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)
(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a)
设a=n^x则a^(log(b)n)=(n^x)^log(b)n=n^(x・log(b)n)=n^log(b)(n^x)=n^(log(b)a)
(7)对数恒等式:a^log(a)N=N;
log(a)a^b=b 证明:设a^log(a)N=X,log(a)N=log(a)X,N=X
(8)由幂的对数的运算性质可得(推导公式)
1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M
2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M
3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M
4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M ,
log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M
5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1
扩展资料
对数公式是数学中的一种常见公式,如果a^x=N(a>0,且a≠1),则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N),其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底,N叫做真数。通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,以e为底的对数称为自然对数。
参考资料对数公式_百度百科