关于对数函数的公式

由于指数函数y=ax在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数 我们把指数函数y=ax(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a＞0，a≠1). 因为指数函数y=ax的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=logax的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=log x,y=log x的草图 由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表. 图 象 a＞1 a＜1 性 质 (1)定义域为x＞0 (2)当x=1时，y=0 (3)当x＞1时，y＞0 0＜x＜1时，y＜0 (3)当x＞1时，y＜0 0＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数 (4)在(0，+∞)上是减函数 补充 性质 设y1=logax y2=logbx其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1＝ 当x＞1时“底大图低”即若a＞b＞1则y1＞y2 当0＜x＜1时“底大图高”即若1＞a＞b＞0，则y1＞y2 利用函数的单调性可进行对数大小的比较.比较对数大小的常用方法有： (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断. (2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较. 3.指数函数与对数函数对比 为了揭示对数函数与指数函数之间的内在联系，下面列出这两种函数的对照表. 指数函数与对数函数对照表 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y=ax(a＞0，a≠1) y=logax(a＞0，a≠1) 定义域 (-∞，+∞) (0，+∞) 值域 (0，+∞) (-∞，+∞) 函 数 值 变 化 情 况 当a＞1时， 当0＜a＜1时， 当a＞1时 当0＜a＜1时， 单调性 当a＞1时，ax是增函数； 当0＜a＜1时，ax是减函数. 当a＞1时，logax是增函数； 当0＜a＜1时，logax是减函数. 图像 y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.