求函数的微分

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。定义设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，注：o读作奥密克戎，希腊字母,那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A・△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A・△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记A・△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去微分近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。

首先看一下微分定义:设函数y=f(x)在点x处导数存在,则此导数f'(x)与自变量Δx的积f'(x)Δx称为函数y=f(x)在点x处的微分,记作dy或df(x),即:dy=f'(x)Δx (1)由上可见,函数的微分有两个特性:1、它是自变量改变量Δx的线形函数（以f'(x)为系数）；2、它与函数的改变量之差Δy-dy=αΔx是一个比Δx高阶的无穷小(当Δx→0时),当f'(x)≠0时,它是Δy的主要部分,所以也称微分dy是改变量Δy的线性主部.由此得到一个很有用的近似公式:只要Δx很小,就有Δy≈dy,即Δy≈f'(x)Δx.通常,把自变量的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即Δx=dx,于是(1)可写为dy=f'(x)dx由此可得dy/dx=f'(x),即函数微分与自变量微分之商等于该函数的导数,因此导数也叫微商.当函数y=f(x)在点x处的微分存在时,也称函数在点x处可微,因此函数的可微和可导是等价的.