证明在实函数空间中 sinθ cosθ 1 线性无关

设psinθ+qcosθ+r=0,将psinθ+qcosθ进行化简成Msin(θ+c)的形式,由于Msin(θ+c)在任何区间上不能恒为常数-r,所以它们线性无关.其实，用WronSky行列式也是一个应该掌握的方法。

假设存在a,b使得asinθ+bcosθ=1对任意的θ成立asinθ1+bcosθ1=1asinθ2+bcosθ2=1相减得a(sinθ1-sinθ2) + b(cosθ1-cosθ2) = 0有和差化积可以证明这个等式不能恒成立，所以sinθ cosθ 1线性无关

验证E上p方可积函数空间为线性空间

需要假定V是有限维空间，无限维空间基的存在性都成问题了（需要承认选择公理才能保证有基）f是V->p的线性映射，秩为1，所以其核空间Ker(f)是n-1维的（n是V的维数）取Ker(f)的一组基e_2,...,e_n，再从V中取一个向量e_1满足f(e_1)≠0那么e_1/f(e_1),e_2,...,e_n就是一组满足要求的基

请教：证明：速降函数空间S在Rn上平方绝对可积空间的性质

因为首先Rn上的平方可积函数的全体按照通常的Lebesgue积分所定义的内积成一个Hilbert空间,另一方面,平方可积的一元函数的全体显然可以看成这个内积空间的一个子空间,而这个子空间显然是无穷维的（这可以先在连续函数的空间上找一组规范正交系,就是你说的标准正交基,然后用Стеклов定理就可以过渡到平方可积的一元函数空间上）,因此Rn上的平方可积函数的全体带上上面的内积所成的Hilbert空间不会是有限维的,又因为Hilbert空间只能同构于Rn或者平方收敛的数列的全体,因此Rn上的平方可积函数空间是可数无穷维.