为什么Rn上的平方可积函数空间是无穷维的？

因为首先Rn上的平方可积函数的全体按照通常的Lebesgue积分所定义的内积成一个Hilbert空间，另一方面，平方可积的一元函数的全体显然可以看成这个内积空间的一个子空间，而这个子空间显然是无穷维的（这可以先在连续函数的空间上找一组规范正交系，就是你说的标准正交基，然后用Стеклов定理就可以过渡到平方可积的一元函数空间上），因此Rn上的平方可积函数的全体带上上面的内积所成的Hilbert空间不会是有限维的，又因为Hilbert空间只能同构于Rn或者平方收敛的数列的全体，因此Rn上的平方可积函数空间是可数无穷维。