第七题 复变函数解析性那一块的题

|f（z）|=√（u²+v²），
∂|f（z）|/∂x=[1/√（u²+v²）](u∂u/∂x+v∂v/∂x)
∂|f（z）|/∂y=[1/√（u²+v²）](u∂u/∂y+v∂v/∂y)
(∂|f（z）|/∂x)²=[1/（u²+v²）][u²（∂u/∂x）²+v²（∂v/∂x)²+2uv（∂u/∂x）（∂v/∂x）]
(∂|f（z）|/∂y)²=[1/（u²+v²）][u²（∂u/∂y）²+v²（∂v/∂y)²+2uv（∂u/∂y）（∂v/∂y）]
(∂|f（z）|/∂x)²+(∂|f（z）|/∂y)²=[1/（u²+v²）]

[u²（∂u/∂x）²+v²（∂v/∂x)²+2uv（∂u/∂x）（∂v/∂x）+u²（∂u/∂y）²+v²（∂v/∂y)²+2uv（∂u/∂y）（∂v/∂y）] 根据柯西黎曼方程：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x，得：
u²
（∂u/∂x）²+v²（∂v/∂x)²+2uv（∂u/∂x）（∂v/∂x）+u²（∂u/∂y）²+v²（∂v/∂y)²+2uv（∂u/∂y）
（∂v/∂y）=u²（∂u/∂x）²+v²（∂v/∂x)²+2uv（∂u/∂x）（∂v/∂x）+u²（∂v/∂x）²+v²（∂u
/∂x)²-2uv（∂u/∂x）（∂v/∂x）=(u²+v²)[（∂u/∂x）²+（∂v/∂x)²]
所以(∂|f（z）|/∂x)²+(∂|f（z）|/∂y)²=（∂u/∂x）²+（∂v/∂x)²=|f‘（z）|²（注意到f’（z）=∂u/∂x+i∂v/∂x）