函数与导数经典例题(含答案)

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函数与导数
1.已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．
【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
（Ⅰ）解：当时，所以曲线在点处的切线方程为
（Ⅱ）解：，令，解得
因为，以下分两种情况讨论：
（1）若变化时，的变化情况如下表：
+｜-｜+｜

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。
（2）若，当变化时，的变化情况如下表：
+｜-｜+｜

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当时，在（0，1）内单调递减，
所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。
（2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若
所以内存在零点。
若
所以内存在零点。
所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。
2.已知函数，．
（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；
（Ⅱ）设，解关于（