设f为R上单调函数,定义g(x)=f(x+0),证明函数g在R上每点都右连续
证明:
∵f为R上的单调函数,
∴f的不连续多可数集
设f的不连续点组成的集合为E
则g(x)=f(x+0)=f(x) x∈RE
∴g(x)在RE上连续,则也右连续
任取x∈E,g(x)=lim(t->x+)f(t)=lim(t->x+)g(t) t∈RE
∴g在x右连续
综上,g(x)在R上右连续
补充:证明没有用到是否存在那样的开区间.不过可以做如下解释
由于E包含于R,且E为最多可数集
则RE稠于E,即E中每个点都可以由RE中的点列来逼近
由于极限lim(t->x+)f(t)存在,所以让t属于RE来求得的极限必然和t∈R时的极限相同.所以有如上证明.
补充2:请注意,D(x)可不单调
关于那一步证明用的是实变函数的结论.
补充3:我不会^^
关于函数的单调性
函数的单调性目录[隐藏]
意义
求函数单调性的基本方法
例题
判断复合函数的单调性
[编辑本段]意义
函数得单调性就是随着x的变大，y在变大就是增函数，y变小就是减函数，具有这样的性质就说函数具有单调性，符号表示：就是定义域内的任意取x1，x2，且x1＜x2，比较f（x1），f（x2）的大小图像上看就是从走左往右看图像在一直上升或下降的就是单调函数
[编辑本段]求函数单调性的基本方法
解：先要弄清概念和研究目的,因为函数本身是动态的，所以判断函数的单调性、奇偶性，还有研究函数切线的斜率、极值等等，都是为了更好地了解函数本身所采用的方法。其次就解题技巧而言，当然是立足于掌握课本上的例题，然后再找些典型例题做做就可以了，这部分知识仅就应付解题而言应该不是很难。最后找些考试试卷题目来解，针对考试会出的题型强化一下，所谓知己知彼百战不殆。 1. 把握好函数单调性的定义。证明函数单调性一般用定义，如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式，可以采用函数单调性定义的等价形式证明。另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。 2. 熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。理解并掌握判断符合函数单调性的方法：同增异减。 3. 高三选修课本有导数及其应用，用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。 还应注意函数单调性的应用，例如求极值、比较大小，还有和不等式有关的问题。
[编辑本段]例题
判断函数的单调性y = 1/ x的平方-2x-3设x^2-2x-3=t令x^2-2x-3=0x=3或x=-1当x>3和x0当-1
