高一数学指数函数及其性质 求值域
f(x)=3+2× (3的x+1次方)-9的x次方(-1≤x≤2)
解答:
换元
令3^x=t, ∵ -1≤x≤2,则1/3≤t≤9
y=3+2× (3的x+1次方)-9的x次方
=3+6t-t²
=-(t-3)²+12
∴ t=3时,y有最大值12
t=9时,y有最小值-24
所以,函数的值域为[-24,12]
指数函数的性质
1) 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,
同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3) 函数图形都是下凸的。
(4) a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。
(5) 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过 指数函数程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
(7) 函数总是通过(0,1)这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)
(8) 显然指数函数无界。
(9) 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
(10)当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。
(11)当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数。