函数周期性
1.函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。
概念的提出：
将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。
出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
“当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达.
2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)
概念的具体化：
当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。
T=2kπ(k∈Z且k≠0)
所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0)
展示正、余弦函数的图象。
周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。）
强调定义中的“当x取定义域内的每一个值”
令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2
所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0
所以T=0或T=-2x
强调定义中的“非零”和“常数”。
例:三角函数sin(x+T)=sinx
cos(x+T)=cosx中的T取2π
3. 最小正周期的概念：
对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。
对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。）
在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
4.例：求下列函数的周期：
（1）y=3cosx
分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。）
（2）y=sin(x+π/4)
分析略，说明在x后面的角也不影响周期。
（3）y=sin2x
分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。）
（4） y=cos(x/2+π/4) （分析略）
（5）y=sin(ωx+φ) （分析略）
结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A0, xR) 的函数的周期为T=(2π-φ)/ω
函数的基本和重要概念
一、关于函数教材的地位
函数关系是量与量之间关系的抽象，凡涉及到量的关系就少不了要用函数概念去描述、去刻画，并通过它去研究客观实际中的数量关系，所以无论就业或升学都要学点函数概念．
高中代数教材是以函数为中心，函数又比较抽象、难学，所以在初中讲点函数为高中作点准备也是必要的．
就以初中代数本身而言，像解三角形、二次不等式等也都离不开函数的有关概念．在物理、化学中像匀速运动、波义耳定律、抛射运动、自由落体也都要有相应的函数作基础．
因此，初中学习函数初步是相当必要的．
二、初中函数教学的特点
首先，从整个中学阶段来看，函数教学大致可划分为下面三个阶段：
第一，感性认识阶段
这一阶段以积累材料为其主要特征．在正式引入函数概念之前，基本上都属于这一阶段．
这一阶段教学的基本内容，大致有以下几个方面：
(1)通过各种关型的算术运算，让学生观察运算的结果与组成这一运算的各项之间的相互关系．如：和数与被加数、加数之间的相互关系，商数与被除数、除数之间的相互关系等．
(2)通过代数式和方程的学习，让学生进一步认识到如何用文字来表示一般的数量关系；如何用代数式来表示量与量之间的关系等．
(3)通过数的概念的发展，来积累学生关于“集合”这一概念的初步思想．例如在讲被开方数的容许值时，可以引导学生注意非负数集合．课本有意识地渗透了一些集合思想，这对以后讲函数概念是极其有帮助的．
(4)通过数轴和坐标的教学积累关于“对应”这一概念的初步思想．
第二，理性认识阶段
这一阶段是函数教学的主要阶段．它分为二个小循环．第一个循环是初中的“函数及其图像”；第二个循环是高中从集合开始一直讲到三角函数及其图像．这一阶段的教学任务是正确地形成函数的一般概念，较深刻地理解函数关系，掌握绘制简单的函数图像和讨论它们的性质的方法，学会应用函数的性质来解决某些比较简单的实际问题，把学生的认识水平和思维水平向前推进一步．
第三，深化和发展阶段
这一阶段的主要任务是了解函数的变化趋势，并通过它，初步掌握极限的方法——无限精确化的方法；利用微积分这一工具，对函数的增减、极值再作深一步的研究，并指出利用初等方法研究函数的局限性．
这三个阶段是彼此衔接的，由此可见，初中的函数教学具有承上启下的作用，对它学习的好坏，会直接影响后面的学习．
其次，初中的函数教学，无论对函数概念还是函数性质的教学，都是一种描述性的．这样，准确性和通俗性是其教学特点．尽管是描述性的，但交待要准确，不要给学生以错觉，并且交待又要遇俗易懂，让学生易于接受．为此需要多举实例，多运用图形、表格等直观手段．
三、关于函数概念
关于函数定义，常常有要素说的提法，如函数是由三个要素组成：定义域、对应法则、值域．这种提法不太科学，最好不要提要素，而应该重点放在函数概念的本质特征上．因为要素并未完全反映本质特征．
函数概念，它的本质特征是两条：一条是“随处定义”，一条是“单值对应”(名词可不必向学生提)．
“随处定义”是指：在一个 R：X→Y的关系中，如果定义域和X相等，则R便是一个随处定义的关系．也就是说，X中的任一个元x都有Y中的元y和它对应．所以随处定义的条件是
在图39所表示的关系中，(1)是随处定义的，而(2)不是．
单值对应是指：若R为由集X到集Y的关系，而对任何一个x∈X都只有一个y∈Y和它对应，则说R是单值的，即
图40的(1)、(2)是单值对应，(3)不是单值对应．
在初中代数的函数定义中，本质就是这两条：“对于x在某一个确定的范围内的每一个确定的值(随处定义)，y都有唯一确定
的值与它对应(单值对应)．”这两条缺一条就不成为其函数了，所以强调本质特征比强调要素明确得多了．
此外，还要防止学生把函数都看成式，不然，就缩小了函数概念的外延．为此，在讲授函数概念时，还要举出不能用式子表示的函数的例子．
四、关于函数定义域的教学
中学课本对定义域有两个方面要求：如果用式子给出，不指明定义域，那是指自然定义域，即使式子有意义的自变量x的取值范围．课本还指出“遇到实际问题时，确定函数的自变量取值范围，必须使实际问题也有意义”．所以教学时要有所反映．
求函数定义域要涉及到诸如解方程、不等式、分式、根式等知识，所以是以新带旧很好的材料，这在教学中应作适当要求，但是题目应该是最基本的，不要故意去搞一些很做作的题，因为这种训练是没有多大意义的．
五、关于函数图像的教学
由于函数往往涉及无穷集，因而一般来说图像应无限延伸，但这在画图像方面有局限，只能用有限来表示无限．这样，一方面要求有限图像能反映出无限图像的主要特征(如与轴的交点、峰点等要表现出来)；另一方面，要反映出无限的趋势(如与x轴无限接近等)．这两点也是画函数图像总的要求．
要让学生掌握描绘函数图像的下述技能：设数、计算(或查表)、设坐标单位、标点、补点、用光滑曲线连接．
这里要分两种情况：
一种情况是事先并不知所画图像是什么样子，也不知其什么性质．这时候设点应该密一些，并正、负都有，如果自变量及对应值数值较大，那么坐标单位可设小一些；如果弯曲处点还不够，则应适当补点，总之不要让图像走样．
另一种情况是事先已知图像是什么样子，那么设点可以根据图像特点来设．如正比例函数，只需设一个点，再与原点连结即可．一次函数可任意设两点．反比例函数若k＞0，只需设第一象限的点，第三象限的点可用原点对称的点得到．k＜0，只需设第二象限的点，第四象限的点可用与原点对称的点得到．对于二次函数可设顶点、与x轴的两个交点等．
以上这些技能都应让学生掌握．
教学中要注意函数图像在解方程、不等式中的作用．
六、关于反比例函数的教学
反比例函数无论从定义、图像、性质来说，都是教学的难点．这反映在的叙述方式与正比例函数极其相似，就容易给人以误解．
(2)反比例函数图像是曲线而不是直线(第一次出现曲线)，画曲线图像技能的培养，如曲线是两支、曲线不与任何轴相交，且与x轴、y轴无限接近等都是难点．
(3)在讲授单调性时，对于“负值绝对值越大就越小”，就常常被图像的表面现象迷惑而错误理解，从而对单调性得出错误结论．
这些都是应该予以重视的．
七、关于二次函数的教学
二次函数是初中字习函数的高潮和重点．它一方面与二次方程、二次不等式等密切相关，即把二次方程、二次不等式统一在函数观点下，可把两者有机地联系起来；另一方面，在讲授二次函数时，又要学习如“沿横、纵轴平移”、“配方”、“极值”等重要的数学思想、概念和方法，因此二次函数教材具有重要的培养性．
“参数a的意义”、“对称轴方程”、“沿轴平移”、“极值的意义”等，都是教学的难点．教学中克服这些难点，要从学生实际出发，采用具体的、形象的方法来讲授．
有关二次函数的题目难度要适当控制，题型要适当归类，重点应放在培养分析问题的能力上．
