外代数那些内容看不懂？
（小石头尝试着来回答这个问题！）
设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间，定义在 V 上的 r（≥ 1）元函数 f: Vʳ → K，如果，对于每个参数都可以保持 线性运算（称为 线性性），即，（对于任意 x, y ∈ V, k ∈ K, 1 ≤ i ≤ r ）
f(x¹, ..., xⁱ = x + y, ..., xʳ) = f(x¹, ..., x, ..., xʳ) + f(x¹, ..., y, ..., xʳ)
f(x¹, ..., xⁱ = kx, ..., xʳ) = kf(x¹, ..., x, ..., xʳ)
则，称 f 是 r元线性函数。
一般，称 1元线性函数 为 （单）线性函数， 2元线性函数 为 双 线性函数，2元以上的线性函数 为 多线性函数。
给定任意 r ≥ 0，将 全体 r 元 线性函数，记为 Vᵣ，这里规定 V₀ = K，即，0 元线性函数 就是 K 中的 常数。
注意：V₁ = V* 是 V 的对偶空间。关于 对偶空间 的详细介绍可以参考 小石头的另一个回答：怎么形象地理解对偶空间？
在 Vᵣ 上定义 线性运算（对于任意 f, g ∈ Vᵣ, k ∈ K）：
加法：(f + g)(x¹, ..., xʳ) = f(x¹, ..., xʳ) + g(x¹, ..., xʳ)
数乘：(kf)(x¹, ..., xʳ) = kf(x¹, ..., xʳ)
则 Vᵣ 构成一个线性空间。
我们 也将 Vᵣ 中的 r元线性函数 称为 r阶（协变）张量，对于 任意 张量 f ∈ Vᵣ 和 g∈ Vᵤ 可以定义 一种积运算：
(f ⊗ g)(x¹, ..., xʳ , xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = f(x¹, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ)
称 ⊗ 为张量积。
显然，对于 每个参数 1 ≤ i ≤ r ，f ⊗ g 满足线性性，因为：
(f ⊗ g)(x¹, ..., xⁱ = x + y, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = f(x¹, ..., xⁱ = x + y, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = (f(x¹, ..., x, ..., xʳ) + f(x¹, ..., y, ..., xʳ))g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = f(x¹, ..., x, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) + f(x¹, ..., y, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = (f ⊗ g)(x¹, ..., x, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) + (f ⊗ g)(x¹, ..., y, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ)
(f ⊗ g)(x¹, ..., xⁱ = kx, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = f(x¹, ..., xⁱ = kx, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = kf(x¹, ..., x, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = k(f ⊗ g)(x¹, ..., x, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ)
对于 每个参数 r + 1 ≤ i ≤ r + u，f ⊗ g 也满足多线性性（原因和上面类似），故，f ⊗ g ∈ Vᵣ₊ᵤ 是一个 r+u 阶 张量。
如果，令 G = V₀ ∪ V₁ ∪ ⋯ ，则 ⊗ 在 G 中封闭，是 G 上的二元运算 ⊗: G×G → G。
同时，我们将 上面 Vᵣ 中定义加法运算扩展到 G 上：对于 张量 f ∈ Vᵣ 和 g∈ Vᵤ ，不妨设 r
f'(x¹, ..., xʳ, 0, ..., 0) = f(x¹, ..., xʳ)
其中，u-r 个 0。于是 f' ∈ Vᵤ ，这样 利用 Vᵣ 的加法运算，得到新的定义：
(f + g)(x¹, ..., xʳ, ..., xᵘ) = (f' + g)(x¹, ..., xʳ, ..., xᵘ) = f'(x¹, ..., xʳ, 0, ..., 0) + g(x¹, ..., xʳ, ..., xᵘ) = f(x¹, ..., xʳ) + g(x¹, ..., xʳ, ..., xᵘ)
注意：这里并没有 将 Vᵣ 中数乘运算 引入 G，因为： kf = k⊗f，f ∈ Vᵣ，k ∈ K = V₀ 。
这样 G 上就同时具有 加法 + 和 张量积 ⊗ 两种运算，并且具有如下性质（对于任意 f, g, h ∈ G）：
加法 结合律：((f + g) + h))(...) = (f + g)(...) + h(...) = (f(...) + g(...)) + h(...) = f(...) + (g(...) + h(...)) = f(...) + (g + h)(...) = (f + (g + h))(...)；
加法 交换律 (f + g)(...) = f(...) + g(...) = g(...) + f(...) = (g + f)(...) ；
张量积 结合律：((f ⊗ g) ⊗ h))(...) = (f ⊗ g)(...)h(...) = (f(...)g(...))h(...) = f(...)(g(...)h(...)) = f(...) (g ⊗ h)(...) = (f ⊗ (g ⊗ h))(...)；
分配律：
((f + g) ⊗ h)(...) = (f + g)(...)h(...) = (f(...) + g(...))h(...) = f(...)h(...) + g(...)h(...) = (f⊗h)(...) + (g⊗h)(...)；
((f ⊗ (g + h)(...) = f(...) (g + h)(...) = f(...)(g(...) + h(...)) = f(...)g(...) + f(...)h(...) = (f⊗g)(...) + (f⊗h)(...)；
考察 ⊗ 的交换律，对于 k ∈ V⁰ = R 和 任意 f ∈ Vᵣ 来说，⊗ 是满足交换律的：
(k⊗f)(x¹, ..., xʳ) = kf(x¹, ..., xʳ) = f(x¹, ..., xʳ)k = (f⊗k)(x¹, ..., xʳ)
但，对于 任意 f ∈ Vᵣ (r ≥ 1) 和 g ∈ Vᵤ (u ≥ 1)，有，
(f ⊗ g)(x¹, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = f(x¹, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ)f(x¹, ..., xʳ) = (g ⊗ f)(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ, x¹, ..., xʳ)
而，交换律要求满足：
(f ⊗ g)(x¹, ..., xʳ, y¹, ..., yˢ) = (g ⊗ f)(x¹, ..., xʳ, y¹, ..., yˢ)
所以，⊗ 不一定满足交换律，除非满足条件 ①：
(g ⊗ f)(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ, x¹, ..., xʳ) = (g ⊗ f)(x¹, ..., xʳ, y¹, ..., yˢ)
设，ωᵣ = {1, 2, ..., r}，则可以定义双射 s: ωᵣ → ωᵣ，称 s 是 ωᵣ 的一个置换，我们将，ωᵣ 的所有 置换 组成的集合，记为 Ωᵣ。
每个 置换 s ∈ Ωᵣ 都对应 一个 ωᵣ 的全排列： s(1)s(2)⋯s(r) 。
考虑 r 和 u 的任意性，上面的条件 ① 等价于 条件 ①'：对于任意 f ∈ Vᵣ，s ∈ Ωᵣ，都有，
f(x¹, x², ..., xʳ) = f(xˢ⁽¹⁾, xˢ⁽²⁾, ..., xˢ⁽ʳ⁾)
称 满足这样条件的函数 为 对称函数。
一般的 线性函数 f 是 不满足上面条件的，但我们可以 将 f 的 所有 参数置换后 的函数 进行算术平均，得到一个新函数：
Sᵣ(f) 显然是 对称的，称 Sᵣ: Vᵣ → Vᵣ 为对称化算子。
关于 交换律 和 对称函数，我们就讨论到这里打住，这不是外代数的重点。
我们发现，上面的等价条件 ①' 还可以进一步简化为：对于任意 f ∈ Vᵣ，交换任意相邻的两个参数，函数值都保持不变，即，对于任意 1 ≤ i
f(x¹, ..., xⁱ, xⁱ⁺¹, ..., xʳ) = f(x¹, ..., xⁱ⁺¹, xⁱ, ..., xʳ)
对这个条件稍作改进，得到一个新条件 ②：让 交换 f ∈ Vᵣ 任意相邻的两个参数后函数都相反，即，对于任意 1 ≤ i
f(x¹, ..., xⁱ, xⁱ⁺¹, ..., xʳ) = -f(x¹, ..., xⁱ⁺¹, xⁱ, ..., xʳ)
满足 条件 ② 的函数 被称为 反对称函数。
由 反对称函数 的条件 我们不难证明：
其中，N(s(1)s(2)⋯s(r)) 表示 s(1)s(2)⋯s(r) 的逆序数。这样以来，仿照 f 的对称化算子，我们可以定义 f 的反对称化算子 Aᵣ: Vᵣ → Vᵣ 如下：
反对称函数 f 具有一个重要的性质 ③：任意两个不同参数值相当时，函数值必然为零，即，
f(x¹, ..., x, ..., x, ..., xʳ) = 0
因为 任意位置的两个参数都可以替换为 相邻两个参数，因此 我们只需要证明： 相邻两个参数相等函数值为零，就可以了，而 根据 条件 ② 有，
f(x¹, ..., x, x, ..., xʳ) = -f(x¹, ..., x, x, ..., xʳ)
f(x¹, ..., x, x, ..., xʳ) + f(x¹, ..., x, x, ..., xʳ) = 2f(x¹, ..., x, x, ..., xʳ) = 0
f(x¹, ..., x, x, ..., xʳ) = 0
设 e₁, e₂, ..., e_n 是 n 维度线性空间 V 的一组基，对于任意 f ∈ Vᵣ，以及 V 中的 任意 r 个向量，
利用 根据 f 的多线性性，有 ④，
定义函数 eⁱ : V → K ，如下：
则，eⁱ 为 向量的坐标分量索引函数，因为，对于任意向量 x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n 有：
eⁱ (x) = eⁱ (x₁e₁ + x₂e₂ + ...+ xᵢeᵢ+ ... + x_ne_n) = x₁eⁱ (e₁) + x₂eⁱ (e₂) + ... + xᵢeⁱ (eᵢ) + ... + x_neⁱ (e_n) = x₁0 + x₂0 + ... + xᵢ1 + ... + x_n0 = xᵢ
又由于，
eⁱ(x + y) = eⁱ((x₁, ..., x_n) + (y₁, ..., y_n)) = eⁱ((x₁ + y₁, ..., x_n + y_n)) = xᵢ + yᵢ = eⁱ(x) + eⁱ(y)
eⁱ(kx) = eⁱ(k(x₁, ..., x_n)) = eⁱ((kx₁, ..., kx_n)) = kxᵢ = keⁱ(x)
所以 eⁱ 是 线性函数，即， eⁱ ∈ V₁。
利用，新定义的 索引函数，可以 改写 ④ 为 ④'：
可以证明：e¹⊗⋯⊗e¹, ..., eʳ⊗⋯⊗eʳ 是线性无关，因此 它是 Vᵣ 的一组基，Vᵣ 的维度是 nʳ 。
我们，用 Eᵣ ⊆ Vᵣ 表示 Vᵣ 中反对称函数的全体，显然，对于 r ＜ 2 谈不上 交换参数，于是， E₀ = V₀，E₁ = V₁。
对于任意 f ∈ V₁，根据 公式 ③，从 ④ 的结论处继续，有，
回忆，《线性代数》中行列式的定义，我们发现 上面 圆括号中的 累积表达式，就是 行列式，即，
同时，利用 张量积 和 反对称算子，这个 累积表达式 还可以进一步，改写：
记，
则，得到 ⑤，
可以证明 C(n, r) 个 eⁱˢ⁽¹⁾ ∧ eⁱˢ⁽²⁾ ∧ ⋯ ∧ eⁱˢ⁽ʳ⁾ 是线性无关，因此 它们是 Eᵣ 的一组基，进而 Eᵣ 是维度 为 C(n, r) 的线性空间 。
将，G 中所有 反对称多线性函数 组成的集合，记为 E，则
E = E₀ ∪ E₁ ∪ ⋯ ∪ E_n ∪ E_n+1 ∪ ⋯
考虑，对于 任意 f ∈ Vᵣ，当 r > n 时，任意 一组 参数 x¹, x² ..., xʳ ∈ V，由于 r 大于 V 的维度，所有 这组参数 必然线性相关，不妨设，x¹ = a₂x² + ... + aᵣxʳ，带入 f，再根据 f 的线性性，有：
f(x¹, x² ..., xʳ) = f(a₂x² + ... + aᵣxʳ, x² ..., xʳ) = a₂f(x², x² ..., xʳ) + ... + aᵣf(xʳ, x² ..., xʳ) = a₂0 + ... + aᵣ0 = 0
也就是说，当 r > n 时，f(x¹, x² ..., xʳ) = 0，为常零函数。常零函数，当做 0 看待，于是 E_n+1 = ... = {0} ⊆ E₀，进而，有，
E = E₀ ∪ E₁ ∪ ⋯ ∪ E_n
于是，E 是 一个维度 为 C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2ⁿ 的 线性空间。
在 E 中，对于 任意 f ∈ Eᵣ 和 g ∈ Eᵤ 定义运算：
称 ∧ 外积，(E, +, ∧) 为一个 外代数。
基于 ⊗ 的分配律，可以推导出 ∧ 也满足 分配率（设，任意 h ∈ Eᵥ）：
(f + g) ∧ h = f∧h + g∧h
f ∧ (g + h) = f∧g + f∧h
由 外积的定义，知道 (f ∧ g)(x¹, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = (g ∧ f )(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ, x¹, ..., xʳ)，而
(g ∧ f )(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ, x¹, ..., xʳ) = (-1)ᵘ(g ∧ f )(x¹, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ, x², ..., xʳ) = (-1)²ᵘ(g ∧ f )(x¹, x², xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ, x³ ..., xʳ) = ... = (-1)ʳᵘ (g ∧ f )(x¹, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ)
故，我的得到：
g ∧ f = (-1)ʳᵘ g ∧ f
这称为 反交换律。 特别地，对于 任意 f, g ∈ V₁ 有，
f ∧ g = - g ∧ f
再考虑，结合律，有，
(f ∧ g) ∧ h = f ∧ g = (r + u + v)! /(r+u)!v! ⋅ Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ((f ∧ g) ⊗ h) = (r + u + v)! /(r+u)!v! ⋅ Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ(((r + u)! /r!u! ⋅ Aᵣ₊ᵤ(f ⊗ g)) ⊗ h) = (r + u + v)! / (r+u)!v! ⋅ (r + u)! /r!u! ⋅ Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ(Aᵣ₊ᵤ(f ⊗ g) ⊗ h) = (r + u + v)! /r!u!v! ⋅ Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ (Aᵣ₊ᵤ(f ⊗ g) ⊗ h)
令 aᵣ₊ᵤ(f ⊗ g ⊗ h) 是对 f ⊗ g ⊗ h 的前 r+u 个参数进行部分 反对称化，则，
Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ (Aᵣ₊ᵤ (f ⊗ g) ⊗ h) =Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ (aᵣ₊ᵤ(f ⊗ g ⊗ h)) = (Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ ∘ aᵣ₊ᵤ)(f ⊗ g ⊗ h)
注意，Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ 的操作依赖于全体 s ∈ Ωᵣ₊ᵤ₊ᵥ，aᵣ₊ᵤ 的操作依赖于全体 s' ∈ Ω'ᵣ₊ᵤ₊ᵥ = {s ∈ Ωᵣ₊ᵤ₊ᵥ | s(r+u+i) = r+u+i, i = 1, ..., v} 因为 Ω'ᵣ₊ᵤ₊ᵥ ⊆ Ωᵣ₊ᵤ₊ᵥ，所有 Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ ∘ aᵣ₊ᵤ 操作依赖于全体 s ∘ s' ∈ Ωᵣ₊ᵤ₊ᵥ，这说明 Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ = Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ ∘ aᵣ₊ᵤ，即，反对称算子的性质 ⑥，
Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ (Aᵣ₊ᵤ (f ⊗ g) ⊗ h) = Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ(f ⊗ g ⊗ h)
于是，我们得到 公式：
(f ∧ g) ∧ h = (r + u + v)! /r!u!v! ⋅ Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ(f ⊗ g ⊗ h)
同理，可以证明：
f ∧ (g ∧ h) = (r + u + v)! /r!u!v! ⋅ Aᵣ₊ᵤ₊ᵥ(f ⊗ g ⊗ h)
故，∧ 满足结合律：
(f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h) = f ∧ g ∧ h
利用 ∧ 结合律 和 性质 ⑥，对于 一组 fⁱ ∈ Eᵣᵢ, i = 1, ..., v，不难得出：
f¹ ∧ ... ∧ fⁱᵛ = (r₁ + ... + rᵥ) /r₁! ⋯ rᵥ! ⋅ Aᵣ₁₊...₊ᵣᵥ(f¹ ⊗ ... ⊗ fⁱᵛ )
于是，有，
eⁱˢ⁽¹⁾ ∧ eⁱˢ⁽²⁾ ∧ ⋯ ∧ eⁱˢ⁽ʳ⁾ = (1 + 1 + ... + 1)!/1!1!⋯1! ⋅ A₁₊₁₊...₊₁(eⁱˢ⁽¹⁾ ⊗ eⁱˢ⁽²⁾ ⊗ ⋯ ⊗ eⁱˢ⁽ʳ⁾ ) = r! Aᵣ(eⁱˢ⁽¹⁾ ⊗ eⁱˢ⁽²⁾ ⊗ ⋯ ⊗ eⁱˢ⁽ʳ⁾ )
这说明，公式 ⑤ 处的记号，兼容 上面的 ∧ 定义。同时，根据 公式 ⑤，每一个参与 外积的 反对称线性函数都 是 基 e¹，e, ..., eⁿ 的线性组合，于是，其实我们只需要 定义 出 ∧ 关于基的性质，也就定义等于 定义了 一个外代数。
设，V 是 K 上 的 n 维线性空间，e¹，e, ..., eⁿ 为 V 的一组基，令，Eᵣ (1≤ r ≤ n) 是以，
为基的 C(n, r) 维 线性空间，并令 E₀ = K。将这些线性空间的直和构成 的 2ⁿ 维线性空间，记为，
称，E 上的 二元运算 ∧ 为 外积。∧ 满以下条件（对于任意 1≤ i, j, k ≤ n）：
结合律：(eⁱ ∧ eʲ) ∧ eᵏ = eⁱ ∧ (eʲ ∧ eᵏ)；
反交换律：eⁱ ∧ eʲ = - eʲ ∧ eⁱ ；
分配律：(eⁱ + eʲ) ∧ eᵏ = eⁱ ∧ eᵏ + eʲ ∧ eᵏ；
称 由 ∧ 构成的表达式 称为 外形式， (E, + , ∧) 外代数，也叫 Grassmann 代数。
这样，我们就得到了一个抽象化的 外代数，上面 用张量积定义的 外代数 只是 Grassmann 代数 的一种实现。
到这里，关于外代数的知识， 就基本介绍完了。下面列举一个具体实例，作为结尾：
考虑，V 是三维欧式空间 R³，e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1) 组成 R³ 的一组 标准正交基，对于任意 向量 x¹ = x₁₁e₁ + x₁₂e₂ + x₁₃e₃ 和 x² = x₂₁e₁ + x₂₂e + x₂₃e₃ ，
当 f ∈ V₂ 时，有，
f(x¹, x²) = f( x₁₁e₁ + x₁₂e₂ + x₁₃e₃, x₂₁e₁ + x₂₂e₂ + x₂₃e₃)
= x₁₁f(e₁, x₂₁e₁ + x₂₂e₂ + x₂₃e₃) + x₁₂f(e₂, x₂₁e₁ + x₂₂e₂ + x₂₃e₃) + x₁₃f(e₃, x₂₁e₁ + x₂₂e₂ + x₂₃e₃)
= x₁₁(x₂₁f(e₁, e₁) + x₂₂f(e₁, e₂) + x₂₃f(e₁, e₃)) + x₁₂(x₂₁f(e₂, e₁) + x₂₂f(e₂, e₂) + x₂₃f(e₂, e₃)) + x₁₃(x₂₁f(e₃, e₁) + x₂₂f(e₃, e₂) + x₂₃f(e₃, e₃))
= x₁₁x₂₁f(e₁, e₁) + x₁₁x₂₂f(e₁, e₂) + x₁₁x₂₃f(e₁, e₃) + x₁₂x₂₁f(e₂, e₁) + x₁₂x₂₂f(e₂, e₂) + x₁₂x₂₃f(e₂, e₃) + x₁₃x₂₁f(e₃, e₁) + x₁₃x₂₂f(e₃, e₂) + x₁₃x₂₃f(e₃, e₃)
令，
a₁₁ = f(e₁, e₁), a₁₂ = f(e₁, e₂), ..., a₃₃ = f(e₃, e₃)
再利用上面的 向量坐标分量函数 e¹, e², e³，我们得到：
f(x¹, x²) =
a₁₁e¹(x¹)e¹(x²) + a₁₂e¹(x¹)e²(x²) + a₁₃e¹(x¹)e³(x²) +
a₂₁e²(x¹)e¹(x²) + a₂₂e²(x¹)e²(x²) + a₂₃e²(x¹)e³(x²) +
a₃₁e³(x¹)e¹(x²) + a₃₂e³(x¹)e²(x²) + a₃₃e³(x¹)e³(x²)
=
(a₁₁e¹⊗e¹ + a₁₂e¹⊗e² + a₁₃e¹⊗e³
+ a₂₁e²⊗e¹ + a₂₂e²⊗e² + a₂₃e²⊗e³
+ a₃₁e³⊗e¹ + a₃₂e³⊗e² + a₃₃e³⊗e³)(x¹, x);
可见，e¹⊗e¹, ... e³⊗e³ 是 V₂ 的基。
当 f ∈ E₂ 时，有，
f(x¹, x²) = x₁₁x₂₁f(e₁, e₁) + x₁₁x₂₂f(e₁, e₂) + x₁₁x₂₃f(e₁, e₃) + x₁₂x₂₁f(e₂, e₁) + x₁₂x₂₂f(e₂, e₂) + x₁₂x₂₃f(e₂, e₃) + x₁₃x₂₁f(e₃, e₁) + x₁₃x₂₂f(e₃, e₂) + x₁₃x₂₃f(e₃, e₃)
= x₁₁x₂₁0 + x₁₁x₂₂f(e₁, e₂) + x₁₁x₂₃f(e₁, e₃) - x₁₂x₂₁f(e₁, e₂) + x₁₂x₂₂0 + x₁₂x₂₃f(e₂, e₃) - x₁₃x₂₁f(e₁, e₃) - x₁₃x₂₂f(e₂, e₃) + x₁₃x₂₃0
= (x₁₁x₂₂ - x₁₂x₂₁)f(e₁, e₂) + (x₁₂x₂₃ - x₁₃x₂₂)f(e₂, e₃) + (x₁₁x₂₃ - x₁₃x₂₁)f(e₁, e₃)
即，
同时，又有，
f = (e¹⊗e² - e²⊗e¹)f(e₁, e₂) + (e²⊗e³ - e³⊗e²)f(e₂, e₃) + (e¹⊗e³ - e³⊗e¹)f(e₁, e₃)
= 2A₂(e¹⊗e²)f(e₁, e₂) + 2A₂(e²⊗e³)f(e₂, e₃) + 2A₂(e¹⊗e³)f(e₁, e₃)
= f(e₁, e₂) e¹∧e² + f(e₂, e₃) e²∧e³ + f(e₁, e₃) e¹∧e³
= a₁₂e¹∧e² + a₂₃e²∧e³ + a₁₃e¹∧e³
可见，e¹∧e², e²∧e³, e¹∧e³ 是 E₂ 的基。相应地，
E₀ 的基是 1;
E₁ 的基是 e¹, e², e³;
E₃ 的基时 e¹∧e²∧e³;
这些基一定是线性无关的，因为，如果
A + Be¹ + ... + Ee¹∧e² + ... + He¹∧e²∧e³ = 0
等式两个 同时外乘 以 e¹∧e²∧e³，得到：
Ae¹∧e²∧e³ + Be¹∧e¹∧e²∧e³ + ... + Ee¹∧e²∧e¹∧e²∧e³ + ... + He¹∧e²∧e³∧e¹∧e²∧e³ = 0
Ae¹∧e²∧e³ = 0
A = 0
于是等式改为为：
Be¹ + ... + Ee¹∧e² + ... + He¹∧e²∧e³ = 0
等式两边同时外乘以 e²∧e³，得到：
Be¹∧e²∧e³ + ... + Ee¹∧e²∧e²∧e³ + ... + He¹∧e²∧e³∧e²∧e³ = 0
Be¹∧e²∧e³ = 0
B = 0
用类似的方法，最后就得到：
A = B = ... = E = ...= H = 0
（最后，小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！）
补充（2020/3/27)：
证明 C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2ⁿ 可以利用 二项式定理，也可以用归纳法：
当 n = 1 时， C(1, 0) + C(1, 1) = 1 + 1 = 2 = 2¹，公式成立。
当 n 时，公式成立，当 n + 1 时，利用（0
C(n+1, m)
= (n+1)!/m!(n+1-m)!
= (n+1)n!/m!(n-(m-1))!
= (m + n-(m-1))n!/m!(n-(m-1))!
= mn!/m!(n-(m-1))! + (n-(m-1)))n!/m!(n-(m-1))!
= n!/(m-1)!(n-(m-1))! + n!/m!(n-m)!
= C(n, m-1) + C(n, m)
有，
C(n + 1, 0) + C(n + 1, 1) + C(n + 1, 2) + ... + C(n + 1, n) + C(n + 1, n + 1)
= C(n + 1, 0) + C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n - 1) + C(n, n) + C(n + 1, n + 1)
= C(n + 1, 0) + C(n, 0) + 2C(n, 1) + 2C(n, 2) + ... + 2C(n, n-1) + C(n, n) + C(n + 1, n + 1)
= C(n, 0) + C(n, 0) + 2C(n, 1) + 2C(n, 2) + ... + 2C(n, n-1) + C(n, n) + C(n, n)
= 2C(n, 0) + 2C(n, 1) + 2C(n, 2) + ... + 2C(n, n-1) + 2C(n, n)
= 2(C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n-1) + C(n, n))
= 22ⁿ = 2ⁿ⁺¹
外代数，又称格拉斯曼代数。学习外代数，只要把线性空间及线性变换的基本问题搞明白就容易理解了。如果还有的话，需要理解张量有关内容。当然如果需要深入理解，还是需要一些抽象代数结构，比如群、环、域等内容。 很多教材中把外代数中的“外积”（或“外乘”），与解析几何中提到的“外积”类比。特别需要注意的是，可以类比，但这两个是不同的概念。区别是，外代数中的“外积”满足结合律，解析几何中的“外积”不满足结合律。具体可以参考丘维声老师编的高等代数（见下方）相关内容。 外代数应用领域包括微分几何、高等分析、量子力学。离数学系本科中最容易接触的是微分几何，在微分几何相关教材中有相关介绍，这里的介绍一般都是经过简化的一些内容，可以参考一下。另外蓝以中《高等代数简明教程》下册最后一节，丘维声《高等代数》下册最后一章，项武义《古典几何学》，《代数学引论》第二卷第六章也有相关内容，都可参考一下。
