3d数学中 矩阵中的个元素代表的是坐标点吗还是代表什么?基向量如何理 ...

矩阵是3D数学的重要基础，它主要用来描述两个坐标系间的关系，通过定义一种运算而将一个坐标系中的向量转换到另一个坐标系中。在线性代数中，矩阵就是以行和列形式组织的矩形数字块，向量是标量的数组，矩阵是向量的数组。

矩阵的维度和记法
矩阵的维度被定义为它包含了多少行多少列，一个 r x c 矩阵有r行c列。用黑体大写字母表示矩阵，如：M、A、R。需要引用矩阵的分量时，采用下标法，常使用对应的斜体小写字母，如下面的3 x 3矩阵所示：

方阵
行数和列数相同的矩阵称作方阵，方阵的对角线元素就是方阵中行号和列号相同的元素。其他元素均为非对角元素，简单的说，方阵的对角元素就是方阵对角线上的元素。
如果所有非对角元素都为0，那么称这种矩阵为对角矩阵。单位矩阵是一种特殊的对角矩阵，n维单位矩阵记作In，是nxn矩阵，对角线元素为1，其他元素为0.
单位矩阵非常特殊，因为它是矩阵的乘法单位元。其基本性质是用任意一个矩阵乘以单位矩阵，都将得到原矩阵。所以在某种意义上，单位矩阵对矩阵的作用就犹如1对于标量的作用。

向量作为矩阵使用
矩阵的行数和列数可以是任意正整数，当然也包括1。一个n维向量能被当作 1 x n 矩阵或 n x 1 矩阵。1 x n 矩阵称作行向量，n x 1 矩阵称作列向量。行向量平着写，列向量竖着写。

转置
考虑一个 r x c 矩阵M，M的转置记作MT，是一个 c x r 矩阵，它的列由M的行组成，可以从另一方面理解，即沿着矩阵的对角线翻折。

对于向量来说，转置将使行向量变成列向量，使列向量成为行向量，见公式7.3：

标量和矩阵的乘法
矩阵M能和标量k相乘，结果是一个和M维数相同的矩阵。矩阵和标量相乘的记法如公式7.4所示，标量经常写在左边，不需要写乘号。这种乘法法则很直观，即用k乘以M中的每个元素。

矩阵乘法
某些情况下，两个矩阵能够相乘，决定矩阵能否相乘以及怎样计算结果的法则初看起来有些奇怪。一个r x n矩阵A能够乘以一个n x c矩阵B，结果是一个r x c矩阵，记作AB。
例如，设A为4 x 2矩阵，B为2 x 5矩阵，那么结果AB为4 x 5矩阵：

如果矩阵A的列数和B的行数不匹配，则乘法AB无意义。
矩阵乘法计算如下：记r x n矩阵A与n x c矩阵B的积r x c矩阵AB为C。C的任意元素Cij等于A的第i行向量与B的第j列向量的点乘结果。
正式定义为：

Jim Peng 的 3D数学---矩阵的几何解释一般来说，方阵能描述任意线性变换。线性变换保留了直线和平行线，但原点没有移动。线性变换保留直线的同时，其他的几何性质如长度、角度、面积和体积可能被变换改变了。从非技术意义上说，线性变换可能“拉伸”坐标系，但不会“弯曲”或“卷折”坐标系。
矩阵是怎样变换向量的
向量在几何上能被解释成一系列与轴平行的位移，一般来说，任意向量v都能写成“扩展”形式：

另一种略有差别的形式为：

注意右边的单位向量就是x，y，z轴，这里只是将概念数学化，向量的每个坐标都表明了平行于相应坐标轴的有向位移。
让我们将上面的向量和重写一遍，这次分别将p、q、r定义为指向+x，+y和+z方向的单位向量，如下所示：
v = xp + yq + zr
现在，向量v就被表示成向量p，q，r的线性变换了，向量p，q，r称作基向量。这里基向量是笛卡尔坐标轴，但事实上，一个坐标系能用任意3个基向量定义，当然这三个基向量要线性无关（也就是不在同一平面上）。以p、q、r为行构建一个3 x 3矩阵M，可得到如下矩阵：

用一个向量乘以该矩阵，得到：

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量，那么乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换，如果aM=b，我们就可以说，M将a转换到b。
从这点看，术语“转换”和“乘法”是等价的。
坦率地说，矩阵并不神秘，它只是用一种紧凑的方式来表达坐标转换所需的数学运算。进一步，用线性代数操作矩阵，是一种进行简单转换或导出更复杂转换的简便方法。

矩阵的形式：
基向量[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]乘以任意矩阵M：

用基向量[1, 0, 0]乘以M时，结果是M的第1行。其他两行也有同样的结果，这是一个关键的发现：矩阵的每一行都能解释为转换后的基向量。
这个强有力的概念有两条重要性质：
1、有了一种简单的方法来形象化解释矩阵所代表的变换。
2、有了反向建立矩阵的可能 ---- 给出一个期望的变换（如旋转、缩放等），能够构造一个矩阵代表此变换。我们所要做的一切就是计算基向量的变换，然后将变换后的基向量填入矩阵。
首先来看看2D例子，一个2 x 2矩阵：

这个矩阵代表的变换是什么？首先，从矩阵中抽出基向量p和q：
p = [2 1]
q = [-1 2]
图7.1以“原”基向量（x轴，y轴）为参考，在笛卡尔平面中展示了这些向量。
、
如图7.1所示，x基向量变换至上面的p向量，y基向量变换至q向量。所以2D中想象矩阵的方法就是想象由行向量构成的“L”形状。这个例子中，能够很清楚的看到，M代表的部分变换是逆时针旋转26度。
当然，所有向量都被线性变换所影响，不只是基向量，从“L”形状能够得到变换最直观的印象，把基向量构成的整个2D平行四边形画完整有助于进一步看到变换对其他向量的影响，如图7.2所示：

平行四边形称作“偏转盒”，在盒子中画一个物体有助于理解，如图 7.3 所示：

很明显，矩阵M不仅旋转坐标系，还会拉伸它。
这种技术也能应用到3D转换中。2D中有两个基向量，构成L型；3D中有三个基向量，它们形成一个”三脚架“。首先，让我们展示出一个转换前的物品。图7.4展示了一个茶壶，一个立方体。基向量在”单位“向量处。

（为了不使图形混乱，没有标出z轴基向量[0, 0, 1]，它被茶壶和立方体挡住了。）
现在，考虑以下3D变换矩阵：

从矩阵的行中抽出基向量，能想象出该矩阵所代表的变换。变换后的基向量、立方体、茶壶如图7.5所示：

这个变换包含z轴顺时针旋转45度和不规则缩放，使得茶壶比以前”高“。注意，变换并没有影响到z轴，因为矩阵的第三行是[0, 0 , 1]。

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