学量子力学需要什么样的数学基础?

可以从实变函数和泛函分析学起。学习实变函数，有利于你建立现代数学的一些基本观念（如函数类）掌握一些基本方法以及积累一些素材。学过实变函数就可以进入现代数学的基础，泛函分析了。只有学过泛函分析，你才能对（非相对论）量子力学有清楚的认识。这时量子力学才不是形式的而是严格的。实变函数和泛函分析的书最好的当属《REAL AND ABSTRACT ANALYSIS》
　　为了准备学微分几何，还要学一些拓朴和代数。这只是准备概念，不必费太多时间。代数可以看蓝以中的《高等代数教程》，这书用近式代数的语言将古典的矩阵和线性空间的理论加以重复，对于理解抽象的代数概念很有好处。拓朴可以看《拓朴学基础》。这书上的习题狂多，不过只要第一章会了其它章节很简单。
　　学过泛函分析和拓朴就可以学真正在发展物理理论中有用的微分几何了。微分几何内容十分庞杂，从最基础的导数的值等于切线斜率，一直到函数空间中的几何学。这些东西要在短时间内学会很不容易，不过也有迹可寻。首选的入门书是陈维桓的《微分几何基础》这书不需要高深的基础，但是却是微分几何的入门。学过之后就可以看陈省身的《微分几何》了。这两本书读过以后再回头读《数学物理中的微分形式》，学习如何应用这些数学。《数学物理中的微分形式》算不上严格的数学书，但是里面对如何使用数学却讲得很好。如果觉得李群和李代数有用，还可以专门看看这方面的书。不过我建议找一本以特殊函数为工具，介绍李群的书。看过以后你就知道Bessel函数等那些在数理方法中学过的东西是何等重要。它们直接是对称性的反映，只不过那时你还小并没有认识这一点。学过这以后你知道量子力学真正关心的是什么了。原来量子力学做来做去是一种关于对称的理论。在这一理论中作为群的表示的基的波函数是次要的，而群本身和代表它的特征值才重要，而这些被物理量正是特征值。
　　再往下就得听天由命了，也许你走运，发现了融合量子论和广义相对论的方法，也许不走运什么也没发现。这可就是天数了，看再多的书也没用。

除了可见宇宙，还存在别的宇宙吗？

尽管没有直接的证据，但现有的物理理论、实验数据和天文观测结果都并未排除这种可能性。有人将有关多重宇宙的研究粗略地分成了四个层面。第一层面：视界之外的宇宙。第二层面：暴胀的泡泡宇宙。第三层面：量子多世界解释。第四层面：数学结构的多样性。

人类在探索“宇宙”的过程中，经历了一次又一次“降格”：先是发现地球并非宇宙的中心，接着又得知太阳只是银河系众多恒星中的一员，20世纪前期人们又发现银河系之外还有众多的河外星系。照这样下去，会不会有朝一日竟然发现，人类今日所知的宇宙也降格了，成为多重宇宙或平行宇宙大家族的普通一员呢？

尽管没有直接的证据，但现有的物理理论、实验数据和天文观测结果都并未排除这种可能性。美国麻省理工学院的宇宙学家泰格马克将有关多重宇宙的研究粗略地分成了四个层面。

第一层面：视界之外的宇宙。

即使用最先进的望远镜，我们也无法将视野无限地向外拓展。这是因为我们所见的宇宙起源于约138亿年之前的一次大爆炸，如果空间静止，那么从大爆炸开始的光所能传播的范围极限就是138亿光年。如果考虑到空间本身的膨胀，这一范围是半径约460亿光年的球形区域。也就是说，此刻我们的视野必然局限于半径460亿光年的范围内，称为宇宙视界。科学家常把宇宙视界之内的部分称为可见宇宙。在可见宇宙之外的宇宙结构既有可能跟我们的宇宙相同，也有可能不同。

第二层面：暴胀的泡泡宇宙。

前一层面的多重宇宙可以看作暴胀多重宇宙的一个角落，因为俄罗斯物理学家林德研究发现，暴胀的过程可能永不停歇。暴胀不断地扩大空间的范围，空间中又随机地产生更剧烈的暴胀。这个过程有点像病毒的自我复制。虽然某一范围内的暴胀可能停止，然后形成第一层多重宇宙，但从整体上看，暴胀始终没有完全停下来。暴胀停止的区域夹在暴胀肆虐的空间中，好比一锅开水中的气泡，因此，这个理论又被称作泡泡宇宙。不同泡泡宇宙之中可能存在不同的物理常数，甚至可能有不同的宏观空间维度。在这个理论中，虽然我们的宇宙年龄没有变化，但整个多重宇宙可能并不存在确定的起始时刻。

第三层面：量子多世界解释。

量子力学是20世纪最成功的物理学理论之一，但是，人们对如何解释量子力学中最基本的方程薛定谔方程存在分歧。从数学上看，一个粒子可以处于量子的叠加状态，同一时间既在这里，又在那里。但实验结果总是发现，对粒子进行多次测量，结果要么看到它在这里，要么看到它在那里。为什么理论和实验会存在差别呢？1957年，美国量子物理学家埃弗里特三世在他的博士论文中提出了新的解释。他认为，每进行一次测量，宇宙就分裂成一些分支，其中一组分支中的实验发现粒子在这里，另一组分支中的实验发现粒子在那里。观察者和粒子并不会意识到宇宙发生了分裂，每个宇宙分支之间互不干涉，独立演化。如果再进行别的量子测量过程，就会产生更多分支。这个理论虽然看上去比较玄，却与现有的实验和理论都没有矛盾，而且它保证了量子力学在数学上的自洽性。

第四层面：数学结构的多样性。

“为什么宇宙中的规律是这样的，而不是别的样子？”美国物理学家惠勒发出诘问。即使将来我们找到了一个全面描述宇宙的终极理论，这个诘问还是存在于理论之外。宇宙的数学结构只有一个吗？泰格马克设想，除了前三个层面的多重宇宙，还存在拥有不同数学结构的多重宇宙。这样的宇宙可以抽象地存在，而不一定要以时空、物质、能量的形式存在。泰格马克举例说，计算机系统就是一个关于0和1的数学结构，并且状态不断地发生演化，这种虚拟世界，也可以看作第四层面多重宇宙的一例。

有人质疑多重宇宙理论无法用实验的方式证明它是否错了——这就叫“无法证伪”，因而不能算作科学理论，但泰格马克认为这只是偏见。他举例说，假如某个多重宇宙理论预言所有的宇宙都不含氧气，但我们却发现了氧气，就能证伪这个理论。除此之外，对于某些未知问题，多重宇宙的解释往往比其他物理理论更加简洁。