无理数的不确定性与量子力学里的不确定性有什么关系？

数学家知道有人问这问题，一定甩一本数学分析或者实变函数给你。无理数在R1空间里是确定的。也就是说，数轴上的无理数是确定的。不仅如此，它还与数轴上的点一一对应。说这个问题的人，数学如何我不评论多少，但至少物理不行！量子力学的不确定关系指的是，互不对易的物理量在大多数情况下是不能同时取确定本征值的。换言之，但就一个变量而言，不存在不确定性。所以，量子力学的不确定性关系是物理独有的，与数学没有关系。

这里我稍微科普一下数学的知识。对于实数，我们可以用一下方法来定义。

设R是一个集合，若它满足下列三组公理，则称为实数系，它的元素称为实数:

I 域公理

对任意a，b∈R，有R中惟一的元素a+b与惟一的元素a·b分别与之对应，依次称为a，b的和与积，满足：1. 对任意a，b∈R，有a+b=b+a，a·b=b·a。2.对任意a，b，c∈R，有a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。3. 对任意a，b，c∈R，有(a+b)·c=a·c+b·c。4.存在R中两个不同的元素，记为0,1分别称为加法单位元与乘法单位元，使对所有的a∈R，有a+0=a，a·1=a。5. 对每个a∈R，存在R中惟一的元素，记为-a，称为加法逆元；对每个a∈R{0}，存在R中惟一的元素，记为a^(-1)，称为乘法逆元，使a+(-a)=0。a·a^(-1)=1。

【可以说成，实数对加法和乘法构成整环，且每个非零元素都有逆元。这也是域的定义。】

II序公理

A、在任意两个元素a，b∈R之间存在一种关系，记为“>”，使对任意a，b，c∈R，满足：

1.（三歧性） a>b,b>a,a=b三种关系中必有一个且仅有一个成立。

2.（传递性） 若a>b且b>c则a>c。

3.（与运算的相容性） 若a>b，则a+c>b+c；若a>b，c>0则ac>bc。

B、在任意两个元素a，b∈R之间存在一种关系，记为“≥”，使对任意a，b，c∈R，满足：

1.（反对称性） 若a ≥b且,b ≥a那么a=b。

2.（传递性） 若a ≥b且b ≥ c则a ≥c。

3.（与运算的相容性） 若a≥b，则a+c ≥ b+c；若a≥0且b≥0，则ab ≥0。

【注：对于序公理AB这两种描述是等价的。因为我们可以通过其中一个符号及其性质来定义另一个符号。】

III(1) 阿基米德公理：对任意a，b∈R，a>0 存在正整数n，使na>b。

III(2)完备性公理：R中的任何基本列都在R中收敛。

称满足公理组I的集为域；满足公理组I与II的集为有序域；满足公理组I，II与III(1)的集为阿基米德有序域；满足公理组I～III的集为完备阿基米德有序域或完备有序域。

这样，实数系就是完备阿基米德有序域。所有有理数的集合Q就是阿基米德有序域，但它不满足完备性公理。

实数公理有多种不同的提法，常见的另一种提法是把公理组III换成 III’连续性公理（戴德金公理）

所谓戴氏分割，指的是全体有理数集合Q被划分为两个互不相交的部分A和A'，使得A中的所有元素都小于A'中的元素。戴德金断言，一定存在实数β，使得β要么是A中的最大数，要么是A'中的最小数。

这里把戴德金定理用作连续性公理。公理组I～III与公理组I+II+III’是等价的，注意不是III等价于III’。

这里强调，与戴德金原理等价的7个实数基本定理【确界存在性定理，单调有界收敛定理，闭区间套定理，有限覆盖定理（它也是紧致性的定义），聚点定理，波尔查诺——魏尔斯特拉斯定理（有界序列必有收敛子列，也叫列紧性）、柯西准则（一般也是极限的定义）】中，并不是每一个都能推出阿基米德公理的。具体来说，柯西收敛准则和闭区间套定理不可以。因而，完备性公理可以换成确界原理、闭区间套定理、单调收敛定理、聚点原理等。却不能直接换成柯西收敛准则或者闭区间套定理。

以上内容参考：卓里奇．《数学分析（第一卷）》(第4版) ：高等教育出版社，2006。

按照实数模型，无理数是确定的，而非不确定！

下面我在科普一下，量子力学。量子力学这话题和上面的话题一样，是很专业的。不是拿来就说的。因此，我也得铺垫一下，量子力学公理。

（1）微观体系的运动状态由波函数描述，波函数可以归一化，也可以不归一化。

（2）微观体系的运动状态波函数随时间变化的规律遵从薛定谔方程（这一条可以推广到KG方程、Dirac方程等）。（3）力学量由相应的线性厄米算符表示（这是泛函分析引入进物理的重要一步）。（4）力学量的本征值和本征函数将决定力学量所有可能的取值和可能的微观状态。

（5）波函数是有力学量的本征函数叠加形成，叠加系数的模的平方是粒子处于该本征函数态的概率。力学量的平均值是由力学量所有本征值与粒子处于相应本征函数的概率之积之和来给出的。

（6）全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性：玻色子系的波函数是对称的，费米子系的波函数是反对称的。那么，不确定关系可由这个公理化体系给出。可以证明，相互对易的力学量具有相同的完备本征函数系。而互不对易的力学量将没有相同的完备本征函数系。也就是说，对于如果是互相对易的力学量，如果粒子恰好处于某一个力学量的本征函数态上，那么该力学量可以取得确定值，而另一个力学量也可以取得确定值；但是对于，互不对易的力学量就不是了，粒子恰好处于某一个力学量的本征函数态上，那么该力学量还是可以取得确定值，但是另一个力学量就很有可能不是取确定值。【注意我的措辞，是“很有可能”。因为存在反例，角动量的三个分量是互不对易的，但是对于基态氢原子而言，角动量三个分量都是0。不过，对于激发态氢原子则是满足不确定关系的。】不确定关系由此便可以推导出来。

感谢悟空邀请！

首先明确一下，无理数在实数轴上位置是确定的。只不过是它不能用两个正整数的比值表示出来而已。对于一些简单的无理数，比如根号√2、根号√3，在数轴上是很容易用尺规作图描述出来的。而对于像圆周率π、自然常数e这样的无理数，则不可以用尺规作图描述，但是在数轴上也是确定的。实数和实数轴上的点是一一对应的。

量子力学里的不确定性指的是“测不准原理”：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。

这不是说“我们无法精确地测量粒子的状态”，而是“我们无法 同时 精确地获得粒子状态的各个量”，追求某个状态量的精确是可以的，但会影响其它相关量的精确获得。

其本质是：测量一个量总要建立在对这个量施加影响的基础上，那么无论如何也无法做到绝对精确！想测得一个量越精确就要牺牲另一个相关量的越不精确为代价。如，我想知道你的想法，但又不能对你的想法有任何影响，这不可能同时做到。因为，我想知道你的想法就要和你交流，交流肯定会对你的想法有影响（至少你会想把问题告诉我），就不能不影响你的想法。“测不准原理”反映的是微观粒子运动的基本规律。

不少同学读大学时学习过普通物理学，涉及到量子力学。对于多数大学物理教授和绝大多数本科生来说，从本质上理解量子力学是很困难的。也许会做一些练习题目，但是从头脑里真正理解很难。

这里有一个小插曲，当年高等院校教材编写人员改编 大学《量子化学》教材时需要修改部分内容，对一些概念不太清楚，来到吉林大学请教 我国量子化学奠基人 唐敖庆教授。唐敖庆教授讲解了很多遍，大家怎么也不能从根本上理解，后来只能不了了之。要知道来请教的人都是国内量子化学领域的专家呀，对他们很难理解的问题普通人理解到何种程度可想而知，估计国内能真正理解的人应该在个位数的数量级。

因为无理数在数轴上是确定的，所以你提的问题自然也就不存在了。

上述观点仅供参考，有问题可以继续沟通～

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