关于——数学分析——实数——证明 《微积分学教程》的一道题，请教各位高手

你的证明也是没问题的。
两个证明只有一个区别：书上的证明中取e是有理数，而你的证明中
e不一定是有理数而已。因此需要看题目当中对e的要求。
题目中的e必须是有理数，那只能按书上的证明；
不需要e是有理数，你的证明就可以。

经济数学基础与微积分有什么差别

微积分是构成经济数学的一个最基本学科・・里面 还包括线性代数 和概率 统计。
其实他们没什么区别 唯一的区别就是经济数学里面的微积分比一般微积分要 简单的多 。

微积分的本质是什么？

小学时候我们就学过圆的面积公式

其中S是圆的面积，π是圆周率，R是圆的半径。大家还记得这个公式是怎么得到的吗？

首先，我们画一个圆，这个圆的半径为R，周长为C。我们知道，圆的周长与直径的比定义为圆周率，因此

这个公式就是圆周率π的定义，是不需要推导的。

然后，我们把圆分割成许多个小扇形，就好像一个比萨饼分割成了很多小块。再然后，我们把这些比萨饼一正一反的拼在一起，这样就形成了一个接近于长方形的图形。

可以想象，如果圆分割的越细，拼好的图形就越接近长方形。如果圆分割成无限多份，那么拼起来就是一个严格的长方形了。而且，这个长方形的面积与圆的面积是相等的。我们要求圆的面积，只需要求出这个长方形的面积就可以了。

这个长方形的宽就是圆的半径R，而长方形的长是圆周长的一半

根据长方形的面积公式“长方形面积=长乘宽”，我们得到圆的面积公式：

其实，这个推导过程很简单，那就是先无限分割，再把这无限多份求和。分割就是微分，求和就是积分，这就是微积分的基本思想。

大家知道微积分是谁发明的方法吗？

其实，从古希腊时代开始，数学家们就已经利用微积分的思想处理问题了，比如阿基米德、刘徽等人，在处理与圆相关问题时都用到了这种思想，但是那时微积分还没有成为一种理论体系。直到十七世纪，由于物理学中求解运动-如天文、航海等问题越来越多，微积分的需求变得越来越迫切。于是，英国著名数学家和物理学家牛顿和德国哲学家和数学家莱布尼茨分别发明了微积分。

1665年，牛顿从剑桥大学毕业了，当时他22岁。他本来应该留校工作，但是英国突然爆发瘟疫，学校关闭了。牛顿只好回到家乡躲避瘟疫。在随后的两年里，牛顿遇到了他的苹果，发明了流数法、发现了色散，并提出了万有引力定律。

牛顿所谓的流数法，就是我们所说的微积分。但是牛顿当时并没有把它看得太重要，而只是把它作为一种很小的数学工具，是自己研究物理问题时的副产品，所以并不急于把这种方法公之于众。

十年之后，莱布尼茨了解到牛顿的数学工作，与牛顿进行了短暂的通信。在1684年，莱布尼茨作为微积分发明第一人，连续发表了两篇论文，正式提出了微积分的思想，这比牛顿提出的流数法几乎晚了20年。但是在论文中，莱布尼茨对他与牛顿之间通信的事只字未提。

牛顿愤怒了。作为欧洲科学界的学术权威，牛顿通过英国皇家科学院公开指责莱布尼茨，并删除了巨著《自然哲学的数学原理》中有关莱布尼茨的部分。莱布尼茨也毫不示弱，对牛顿反唇相讥。两个科学巨匠的争论直到二人去世依然没有结果。所以我们今天谈到微积分公式，都称之为“牛顿-莱布尼茨公式”。

他们在自己的著作中删除对手的名字时，如果知道后人总是把他们的名字放在一块写，又会作何感想呢？历史就是这么有趣。

为了让大家更了解微积分和它的应用，我们再来计算一个面积：有一个三条边为直线，一条边为曲线的木板，并且有两个直角。我们希望求出木板的面积。

为了求出这个面积，我们首先把木板放在一个坐标系内，底边与x轴重合。左右两个边分别对应着x=a和x=b两个位置，而顶边曲线满足函数y=f(x).函数的意思就是一种对应关系：每个x对应的纵坐标高度是f(x)。

如果我们把这个图形使用与y轴平行的线进行无线分割，那么每一个竖条都非常接近于一个长方形，而且长方形的宽是一小段横坐标Δx，高接近于f(x)，所以这一小条的面积就是f(x)Δx。

现在我们把无限多的小竖条求和，就是板子的面积，写作

其中a叫做下限，b叫做上限，f(x)叫做被积函数，这个表达式就是积分，表示f(x)、x=a、x=b和x轴四条线围成的图形面积。

怎么样？虽然微积分的计算比较复杂，但是明白原理还是十分简单的，对不对？

今年我家孩子上大学。暑假里我给他讲了一下微积分的本质。我给自己设定的要求是没有一个公式，而且中学生都能听得懂，我是这样讲的：

求一个直角三角形的高，可以通过底长和夹角来推算，但如果三角形是一个曲边的呢？再用加角和底边儿推算就会产生很大的误差。

那该怎么办呢？不妨曲边三角形分成三段，形成三个蓝色直角三角形的，再通过它们夹角和底长推算数三个小高度，这三个小高度就叫做“微分”。

然后，将这三个微分累积起来，就叫做“积分”，这个积分就是我们所求的曲边三角形的高度。

问题来了，这三个蓝色直角三角形的高度，其实是低于实际高度的，会有一个红色的小误差。

如何将这个误差消除呢？如果分成更多段，形成更多的蓝色直角三角形，那么这个红色的误差就会快速缩小。

如果分成无穷多段，形成无穷多个蓝色直角三角形，那这个红色的小误差就会消失。

所以说微积分的本质就是：通过无穷小来求总和。

这算不算史上最容易理解的微积分科普？

先不忙夸我，这个例子及其说法是我从中国科学院林群院士那里偷学来的。

这个问答可是有院士背书啊?请大力点赞评论和转发！